Страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

390.—

a) $\sqrt[4]{16 \cdot 625}$;

б) $\sqrt[5]{32 \cdot 243}$;

в) $\sqrt[3]{8 \cdot 343}$;

г) $\sqrt[4]{0,0001 \cdot 16}$.

а) Используя свойство корня из произведения ($\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$), разложим корень на произведение двух корней и вычислим их значения:
$\sqrt[4]{16 \cdot 625} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625} = 2 \cdot 5 = 10$,
поскольку $2^4 = 16$ и $5^4 = 625$.
Ответ: 10

б) Аналогично, применим свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{32 \cdot 243} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{243} = 2 \cdot 3 = 6$,
поскольку $2^5 = 32$ и $3^5 = 243$.
Ответ: 6

в) Выполним вычисление для данного выражения, используя то же свойство:
$\sqrt[3]{8 \cdot 343} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{343} = 2 \cdot 7 = 14$,
поскольку $2^3 = 8$ и $7^3 = 343$.
Ответ: 14

г) Для последнего выражения также используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{0.0001 \cdot 16} = \sqrt[4]{0.0001} \cdot \sqrt[4]{16} = 0.1 \cdot 2 = 0.2$,
поскольку $0.1^4 = 0.0001$ и $2^4 = 16$.
Ответ: 0.2

391. a) $\sqrt[5]{160 \cdot 625}$;

б) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$;

в) $\sqrt[4]{48 \cdot 27}$;

г) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[5]{160 \cdot 625}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 5. Для этого разложим каждый множитель на простые сомножители:
$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$
$625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$
Теперь перемножим полученные разложения под знаком корня:
$\sqrt[5]{160 \cdot 625} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 5) \cdot 5^4} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^5}$
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n}=a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[5]{2^5 \cdot 5^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 5)^5} = 2 \cdot 5 = 10$
Ответ: 10

б) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 3. Разложим множители на простые сомножители:
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$9 = 3^2$
Перемножим разложения под знаком корня:
$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

в) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[4]{48 \cdot 27}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 4. Разложим множители на простые сомножители:
$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$27 = 3^3$
Перемножим разложения под знаком корня:
$\sqrt[4]{48 \cdot 27} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot 3) \cdot 3^3} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^{1+3}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

г) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 3. Разложим множители на простые сомножители:
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Перемножим разложения под знаком корня:
$\sqrt[3]{75 \cdot 45} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \sqrt[3]{3^{1+2} \cdot 5^{2+1}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 15

392. a) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9}$;

б) $\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8}$;

в) $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$;

г) $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

а) Чтобы перемножить корни с разными показателями, представим их в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $.
$ \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9} = 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}} $
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $).
$ 9^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 9^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 9^{\frac{3}{6}} = 9^{\frac{1}{2}} $
Преобразуем степень обратно в корень:
$ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 $.
Ответ: $3$.

б) В данном выражении оба корня имеют одинаковую степень $7$. Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $.
$ \sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8} = \sqrt[7]{16 \cdot (-8)} = \sqrt[7]{-128} $
Теперь извлечем корень седьмой степени. Так как $ (-2)^7 = -128 $, то:
$ \sqrt[7]{-128} = -2 $.
Ответ: $-2$.

в) Так как степени корней одинаковы ($5$), используем свойство произведения корней: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $.
$ \sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9} $
Для удобства представим подкоренные выражения в виде степеней числа 3: $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $.
$ \sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2} = \sqrt[5]{3^{3+2}} = \sqrt[5]{3^5} $
Используя свойство $ \sqrt[n]{a^n} = a $, получаем:
$ \sqrt[5]{3^5} = 3 $.
Ответ: $3$.

г) В этом выражении корни имеют разные степени ($3$ и $6$).
Сначала вынесем знак минуса из-под корня нечетной степени, используя свойство $ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $ для нечетного $n$.
$ \sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25} = -\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{25} $
Теперь представим корни в виде степеней с рациональными показателями.
$ -\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{25} = -(25^{\frac{1}{3}}) \cdot 25^{\frac{1}{6}} $
Сложим показатели степеней:
$ -(25^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}) = -(25^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}) = -(25^{\frac{3}{6}}) = -(25^{\frac{1}{2}}) $
Вычислим значение:
$ -(25^{\frac{1}{2}}) = -\sqrt{25} = -5 $.
Ответ: $-5$.

393. а) $\frac{\sqrt[3]{-625}}{\sqrt[3]{-5}}$

б) $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}}$

в) $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}}$

г) $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}$

а)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[3]{-625}}{\sqrt[3]{-5}}$ воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применяя это свойство, получаем:

$\frac{\sqrt[3]{-625}}{\sqrt[3]{-5}} = \sqrt[3]{\frac{-625}{-5}} = \sqrt[3]{125}$

Далее вычисляем значение кубического корня:

$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Ответ: 5

б)

Для выражения $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}}$ используем то же свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Выполняем преобразование:

$\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}} = \sqrt[4]{\frac{128}{8}} = \sqrt[4]{16}$

Теперь вычисляем значение корня четвертой степени:

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 2

в)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}}$, используя свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применяем свойство:

$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}} = \sqrt[3]{\frac{243}{-9}} = \sqrt[3]{-27}$

Вычисляем значение кубического корня из отрицательного числа:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Ответ: -3

г)

Для выражения $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}$ снова используем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Выполняем преобразование:

$\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{128}{2}} = \sqrt[6]{64}$

Вычисляем значение корня шестой степени:

$\sqrt[6]{64} = 2$, так как $2^6 = 64$.

Ответ: 2

394. a) $ \sqrt[6]{\frac{64}{100000000}} \cdot \sqrt[4]{39\frac{1}{16}} : \sqrt[3]{-3\frac{19}{27}}; $

б) $ \sqrt[5]{1\frac{11}{16}} \cdot 4,5 - \frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{288}}; $

в) $ \sqrt[5]{-\frac{243}{1024}} \cdot \sqrt[3]{-4\frac{17}{27}}; $

г) $ \sqrt[4]{3\frac{3}{8}} \cdot 1\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{80}}. $

Вычислим значение выражения по частям: $\sqrt[6]{\frac{64}{100000000}} \cdot \sqrt[4]{39\frac{1}{16}} : \sqrt[3]{-3\frac{19}{27}}$

1. Упростим первый множитель: $\sqrt[6]{\frac{64}{100000000}} = \sqrt[6]{\frac{2^6}{10^8}} = \frac{(2^6)^{1/6}}{(10^8)^{1/6}} = \frac{2}{10^{8/6}} = \frac{2}{10^{4/3}}$.

2. Упростим второй множитель. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $39\frac{1}{16} = \frac{39 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{624+1}{16} = \frac{625}{16}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{2^4}} = \frac{5}{2}$.

3. Упростим делитель. Преобразуем смешанную дробь: $-3\frac{19}{27} = -\frac{3 \cdot 27 + 19}{27} = -\frac{81+19}{27} = -\frac{100}{27}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[3]{-\frac{100}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{100}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{10^2}}{\sqrt[3]{3^3}} = -\frac{10^{2/3}}{3}$.

4. Объединим все части. Выполним сначала умножение, а затем деление:
$(\frac{2}{10^{4/3}} \cdot \frac{5}{2}) : \left(-\frac{10^{2/3}}{3}\right) = \frac{5}{10^{4/3}} : \left(-\frac{10^{2/3}}{3}\right)$

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей дробь:
$\frac{5}{10^{4/3}} \cdot \left(-\frac{3}{10^{2/3}}\right) = -\frac{5 \cdot 3}{10^{4/3} \cdot 10^{2/3}} = -\frac{15}{10^{4/3+2/3}} = -\frac{15}{10^{6/3}} = -\frac{15}{10^2} = -\frac{15}{100}$.

Сократим полученную дробь: $-\frac{15}{100} = -\frac{3}{20}$.

Ответ: $-\frac{3}{20}$.

Решим выражение: $\sqrt[5]{1\frac{11}{16} \cdot 4,5} - \frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{288}}$

1. Упростим уменьшаемое. Преобразуем смешанную дробь и десятичное число в неправильные дроби: $1\frac{11}{16} = \frac{16+11}{16} = \frac{27}{16}$; $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.
$\sqrt[5]{1\frac{11}{16} \cdot 4,5} = \sqrt[5]{\frac{27}{16} \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[5]{\frac{3^3}{2^4} \cdot \frac{3^2}{2}} = \sqrt[5]{\frac{3^3 \cdot 3^2}{2^4 \cdot 2^1}} = \sqrt[5]{\frac{3^5}{2^5}} = \frac{3}{2}$.

2. Упростим вычитаемое, используя свойство корня из частного $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$: $\frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{288}} = \sqrt[5]{\frac{9}{288}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{9}{288} = \frac{1}{32}$.
Тогда $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним вычитание: $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

Вычислим произведение: $\sqrt[5]{-\frac{243}{1024}} \cdot \sqrt[3]{-4\frac{17}{27}}$

1. Упростим первый множитель. Так как корень нечетной степени, знак минус можно вынести: $\sqrt[5]{-\frac{243}{1024}} = -\sqrt[5]{\frac{243}{1024}}$.
Заметим, что $243 = 3^5$ и $1024 = 4^5$ (так как $1024 = 2^{10} = (2^2)^5$).
Тогда $-\sqrt[5]{\frac{3^5}{4^5}} = -\frac{3}{4}$.

2. Упростим второй множитель. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-4\frac{17}{27} = -\frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = -\frac{108+17}{27} = -\frac{125}{27}$.
Извлечем корень: $\sqrt[3]{-\frac{125}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{5^3}{3^3}} = -\frac{5}{3}$.

3. Перемножим полученные значения: $(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{5}{3}) = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

Найдем значение выражения: $\sqrt[4]{3\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{80}}$

1. Упростим первое слагаемое. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$; $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
$\sqrt[4]{3\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{\frac{27}{8} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt[4]{\frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$.
Так как $81 = 3^4$ и $16=2^4$, получаем $\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}} = \frac{3}{2}$.

2. Упростим второе слагаемое, используя свойство корня из частного: $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{80}} = \sqrt[4]{\frac{5}{80}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
Тогда $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^4}} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним сложение: $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2$.

395. Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа:

а) $\sqrt[4]{2}$;

б) $\sqrt[3]{5}$;

в) $\sqrt{7}$;

г) $\sqrt[3]{3}$.

а) Для того чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt[4]{2}$, мы будем последовательно подбирать десятичные приближения этого числа с недостатком и с избытком, возводя их в четвертую степень и сравнивая результат с числом 2. Обозначим искомое число как $x = \sqrt[4]{2}$, тогда $x^4 = 2$.
1. Найдём целую часть числа. Проверим степени целых чисел:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
Поскольку $1 < 2 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{2} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,a$ (десятые доли):
$1.1^4 = (1.1^2)^2 = 1.21^2 = 1.4641$
$1.2^4 = (1.2^2)^2 = 1.44^2 = 2.0736$
Так как $1.4641 < 2 < 2.0736$, то $1.1 < \sqrt[4]{2} < 1.2$. Первая цифра после запятой — 1.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,1b$ (сотые доли):
$1.18^4 = (1.18^2)^2 = 1.3924^2 = 1.93877776$
$1.19^4 = (1.19^2)^2 = 1.4161^2 = 2.00531521$
Поскольку $1.18^4 < 2 < 1.19^4$, то $1.18 < \sqrt[4]{2} < 1.19$.
Следовательно, $\sqrt[4]{2} \approx 1,18...$ Первые два десятичных знака — 18.
Ответ: 18.

б) Чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt[3]{5}$, будем искать число $x$ такое, что $x^3 \approx 5$, методом подбора.
1. Найдём целую часть. Проверим кубы целых чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Поскольку $1 < 5 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,a$ (десятые доли):
$1.7^3 = 1.7 \times 1.7 \times 1.7 = 2.89 \times 1.7 = 4.913$
$1.8^3 = 1.8 \times 1.8 \times 1.8 = 3.24 \times 1.8 = 5.832$
Так как $1.7^3 < 5 < 1.8^3$, то $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$. Первая цифра после запятой — 7.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,7b$ (сотые доли):
$1.70^3 = 4.913$
$1.71^3 = 1.71 \times 1.71 \times 1.71 = 2.9241 \times 1.71 = 5.000211$
Поскольку $1.70^3 < 5 < 1.71^3$, то $1.70 < \sqrt[3]{5} < 1.71$.
Следовательно, $\sqrt[3]{5} \approx 1,70...$ Первые два десятичных знака — 70.
Ответ: 70.

в) Чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt{7}$, будем искать число $x$ такое, что $x^2 \approx 7$, методом подбора.
1. Найдём целую часть. Проверим квадраты целых чисел:
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
Поскольку $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Целая часть равна 2.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $2,a$ (десятые доли):
$2.6^2 = 6.76$
$2.7^2 = 7.29$
Так как $2.6^2 < 7 < 2.7^2$, то $2.6 < \sqrt{7} < 2.7$. Первая цифра после запятой — 6.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $2,6b$ (сотые доли):
$2.64^2 = 6.9696$
$2.65^2 = 7.0225$
Поскольку $2.64^2 < 7 < 2.65^2$, то $2.64 < \sqrt{7} < 2.65$.
Следовательно, $\sqrt{7} \approx 2,64...$ Первые два десятичных знака — 64.
Ответ: 64.

г) Чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt[3]{3}$, будем искать число $x$ такое, что $x^3 \approx 3$, методом подбора.
1. Найдём целую часть. Проверим кубы целых чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Поскольку $1 < 3 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,a$ (десятые доли):
$1.4^3 = 1.4 \times 1.4 \times 1.4 = 1.96 \times 1.4 = 2.744$
$1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 2.25 \times 1.5 = 3.375$
Так как $1.4^3 < 3 < 1.5^3$, то $1.4 < \sqrt[3]{3} < 1.5$. Первая цифра после запятой — 4.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,4b$ (сотые доли):
$1.44^3 = 1.44 \times 1.44 \times 1.44 = 2.0736 \times 1.44 = 2.985984$
$1.45^3 = 1.45 \times 1.45 \times 1.45 = 2.1025 \times 1.45 = 3.048625$
Поскольку $1.44^3 < 3 < 1.45^3$, то $1.44 < \sqrt[3]{3} < 1.45$.
Следовательно, $\sqrt[3]{3} \approx 1,44...$ Первые два десятичных знака — 44.
Ответ: 44.

Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите приближенное значение корня с точностью до 0,01 (396–397).

396. а) $ \sqrt[3]{10,17} $;

б) $ \sqrt{71} $;

в) $ \sqrt{13,21} $;

г) $ \sqrt[3]{11} $.

а) Для нахождения приближенного значения кубического корня из 10,17 с точностью до 0,01, воспользуемся калькулятором. Вычисление дает результат: $\sqrt[3]{10,17} \approx 2,16648...$ . Чтобы округлить до сотых, необходимо посмотреть на тысячную долю. В данном случае это цифра 6. Поскольку $6 \ge 5$, мы округляем сотую долю в большую сторону. Следовательно, приближенное значение равно 2,17.
Ответ: 2,17

б) Для нахождения приближенного значения квадратного корня из 71 с точностью до 0,01, воспользуемся калькулятором. Вычисление дает результат: $\sqrt{71} \approx 8,426149...$ . Чтобы округлить до сотых, смотрим на третью цифру после запятой, которая равна 6. Поскольку $6 \ge 5$, мы округляем вторую цифру после запятой в большую сторону. Таким образом, получаем 8,43.
Ответ: 8,43

в) Для нахождения приближенного значения квадратного корня из 13,21 с точностью до 0,01, воспользуемся калькулятором. Вычисление дает результат: $\sqrt{13,21} \approx 3,634556...$ . Для округления до сотых, смотрим на третью цифру после запятой. Здесь это цифра 4. Поскольку $4 < 5$, мы оставляем сотую долю без изменений. Таким образом, приближенное значение равно 3,63.
Ответ: 3,63

г) Для нахождения приближенного значения кубического корня из 11 с точностью до 0,01, воспользуемся калькулятором. Вычисление дает результат: $\sqrt[3]{11} \approx 2,22398...$ . Чтобы округлить до сотых, смотрим на третью цифру после запятой. В данном случае это 3. Поскольку $3 < 5$, мы оставляем вторую цифру после запятой без изменений. Следовательно, приближенное значение равно 2,22.
Ответ: 2,22

397. а) $\sqrt[9]{13,7}$;

б) $\sqrt[6]{10}$;

в) $\sqrt[4]{2,8}$;

г) $\sqrt[8]{13}$.

Поскольку в задании не указано конкретное действие, которое необходимо совершить с данными числами, наиболее вероятной является задача нахождения двух последовательных целых чисел, между которыми заключено каждое из выражений. Решим эту задачу для каждого пункта.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[9]{13,7}$, нам необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n^9 \le 13,7 < (n+1)^9$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$1^9 = 1$

$2^9 = 512$

Так как $1 < 13,7 < 512$, мы можем записать следующее двойное неравенство: $1^9 < 13,7 < 2^9$.

Извлекая корень девятой степени из всех частей этого неравенства, получаем:

$\sqrt[9]{1^9} < \sqrt[9]{13,7} < \sqrt[9]{2^9}$

Следовательно, $1 < \sqrt[9]{13,7} < 2$.

Это означает, что число $\sqrt[9]{13,7}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[6]{10}$, нам необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n^6 \le 10 < (n+1)^6$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$1^6 = 1$

$2^6 = 64$

Так как $1 < 10 < 64$, мы можем записать следующее двойное неравенство: $1^6 < 10 < 2^6$.

Извлекая корень шестой степени из всех частей этого неравенства, получаем:

$\sqrt[6]{1^6} < \sqrt[6]{10} < \sqrt[6]{2^6}$

Следовательно, $1 < \sqrt[6]{10} < 2$.

Это означает, что число $\sqrt[6]{10}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[4]{2,8}$, нам необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 \le 2,8 < (n+1)^4$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$1^4 = 1$

$2^4 = 16$

Так как $1 < 2,8 < 16$, мы можем записать следующее двойное неравенство: $1^4 < 2,8 < 2^4$.

Извлекая корень четвертой степени из всех частей этого неравенства, получаем:

$\sqrt[4]{1^4} < \sqrt[4]{2,8} < \sqrt[4]{2^4}$

Следовательно, $1 < \sqrt[4]{2,8} < 2$.

Это означает, что число $\sqrt[4]{2,8}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми находится число $\sqrt[8]{13}$, нам необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n^8 \le 13 < (n+1)^8$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$1^8 = 1$

$2^8 = 256$

Так как $1 < 13 < 256$, мы можем записать следующее двойное неравенство: $1^8 < 13 < 2^8$.

Извлекая корень восьмой степени из всех частей этого неравенства, получаем:

$\sqrt[8]{1^8} < \sqrt[8]{13} < \sqrt[8]{2^8}$

Следовательно, $1 < \sqrt[8]{13} < 2$.

Это означает, что число $\sqrt[8]{13}$ заключено между последовательными целыми числами 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

Сравните числа (398–401).

398.-

a) $ \sqrt[5]{0,2} $ и 0;

б) $ \sqrt[12]{0,4} $ и $ \sqrt[12]{\frac{5}{12}} $;

в) $ \sqrt[7]{1,8} $ и 1;

г) $ \sqrt[8]{0,2} $ и $ \sqrt[8]{0,3} $.

а) Сравним числа $\sqrt[5]{0,2}$ и $0$.

Подкоренное выражение $0,2$ является положительным числом. Корень нечетной степени (в данном случае 5) из положительного числа всегда является положительным числом. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $\sqrt[5]{0,2} > 0$.

Ответ: $\sqrt[5]{0,2} > 0$.

б) Сравним числа $\sqrt[12]{0,4}$ и $\sqrt[12]{\frac{5}{12}}$.

Поскольку показатели корней одинаковы и равны 12, для сравнения этих чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения. Это связано с тем, что функция $y = \sqrt[12]{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$.

Сравним подкоренные выражения: $0,4$ и $\frac{5}{12}$.

Переведем десятичную дробь $0,4$ в обыкновенную: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Теперь сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{12}$. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен $5 \cdot 12 = 60$.

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{24}{60}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$

Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{60} < \frac{25}{60}$, а значит $0,4 < \frac{5}{12}$.

Поскольку подкоренное выражение $0,4$ меньше, чем $\frac{5}{12}$, и функция корня 12-й степени возрастающая, то $\sqrt[12]{0,4} < \sqrt[12]{\frac{5}{12}}$.

Ответ: $\sqrt[12]{0,4} < \sqrt[12]{\frac{5}{12}}$.

в) Сравним числа $\sqrt[7]{1,8}$ и $1$.

Мы можем представить число $1$ как корень 7-й степени из 1: $1 = \sqrt[7]{1^7} = \sqrt[7]{1}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt[7]{1,8}$ и $\sqrt[7]{1}$.

Функция $y = \sqrt[7]{x}$ является возрастающей для всех действительных чисел, так как показатель корня нечетный. Это значит, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Сравнивая подкоренные выражения, получаем: $1,8 > 1$.

Следовательно, $\sqrt[7]{1,8} > \sqrt[7]{1}$, что означает $\sqrt[7]{1,8} > 1$.

Ответ: $\sqrt[7]{1,8} > 1$.

г) Сравним числа $\sqrt[8]{0,2}$ и $\sqrt[8]{0,3}$.

Показатели корней у обоих чисел одинаковы и равны 8. Функция $y = \sqrt[8]{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, так как показатель корня четный, а подкоренные выражения неотрицательны. Поэтому для сравнения чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения.

Сравним подкоренные выражения: $0,2$ и $0,3$.

Так как $0,2 < 0,3$, и функция $y = \sqrt[8]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[8]{0,2} < \sqrt[8]{0,3}$.

Ответ: $\sqrt[8]{0,2} < \sqrt[8]{0,3}$.

399.-

а) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}$ и $(\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2$;

б) $\sqrt[18]{\frac{3}{7}}$ и $\sqrt[18]{0,43}$;

в) $\sqrt[5]{2}$ и $\sqrt[5]{3}

г) $\sqrt[10]{0,8}$ и $1$.

а) Сравним числа $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} $ и $ (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $. Для этого преобразуем оба выражения, чтобы привести их к корням с одинаковым показателем.

Первое выражение: $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} $. Внесем множитель $ \frac{1}{2} $ под знак корня. Так как $ \frac{1}{2} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} $, получаем:

$ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot 2} = \sqrt[3]{\frac{2}{8}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} $.

Второе выражение: $ (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $. Используя свойство корня $ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $, получаем:

$ (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 = \sqrt[6]{(\frac{1}{2})^2} = \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $.

Теперь сравним $ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} $ и $ \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $. Приведем корни к общему показателю 6. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 6 равно 6.

$ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\frac{1}{4})^2} = \sqrt[6]{\frac{1}{16}} $.

Сравниваем $ \sqrt[6]{\frac{1}{16}} $ и $ \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $. Так как функция $ y = \sqrt[6]{x} $ является возрастающей для $ x \ge 0 $, достаточно сравнить подкоренные выражения: $ \frac{1}{16} $ и $ \frac{1}{4} $.

Поскольку $ 16 > 4 $, то $ \frac{1}{16} < \frac{1}{4} $. Следовательно, $ \sqrt[6]{\frac{1}{16}} < \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $.

Таким образом, $ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $, что означает $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} < (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} < (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $.

б) Сравним числа $ \sqrt[18]{\frac{3}{7}} $ и $ \sqrt[18]{0,43} $.

Поскольку оба числа являются корнями одинаковой 18-й степени, а функция $ y = \sqrt[18]{x} $ является возрастающей для $ x \ge 0 $, нам достаточно сравнить подкоренные выражения: $ \frac{3}{7} $ и $ 0,43 $.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,43 = \frac{43}{100} $.

Сравним дроби $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{43}{100} $. Для этого воспользуемся перекрестным умножением.

$ 3 \cdot 100 = 300 $.

$ 7 \cdot 43 = 7 \cdot (40 + 3) = 280 + 21 = 301 $.

Так как $ 300 < 301 $, то $ \frac{3}{7} < \frac{43}{100} $.

Следовательно, $ \sqrt[18]{\frac{3}{7}} < \sqrt[18]{0,43} $.

Ответ: $ \sqrt[18]{\frac{3}{7}} < \sqrt[18]{0,43} $.

в) Сравним числа $ \sqrt[5]{2} $ и $ \sqrt[5]{3} $.

Оба числа являются корнями 5-й степени. Функция $ y = \sqrt[5]{x} $ является возрастающей для всех действительных чисел.

Следовательно, достаточно сравнить подкоренные выражения: 2 и 3.

Поскольку $ 2 < 3 $, то $ \sqrt[5]{2} < \sqrt[5]{3} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{2} < \sqrt[5]{3} $.

г) Сравним числа $ \sqrt[10]{0,8} $ и 1.

Представим число 1 в виде корня 10-й степени: $ 1 = \sqrt[10]{1^{10}} = \sqrt[10]{1} $.

Теперь сравним $ \sqrt[10]{0,8} $ и $ \sqrt[10]{1} $.

Функция $ y = \sqrt[10]{x} $ является возрастающей для $ x \ge 0 $. Сравним подкоренные выражения: 0,8 и 1.

Поскольку $ 0,8 < 1 $, то $ \sqrt[10]{0,8} < \sqrt[10]{1} $.

Следовательно, $ \sqrt[10]{0,8} < 1 $.

Ответ: $ \sqrt[10]{0,8} < 1 $.

400.-

а) $\sqrt{0,3}$ и $\sqrt[5]{0,05}$;

б) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[5]{8}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{40}$;

г) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[8]{500}$.

а) Для того чтобы сравнить два корня с разными степенями, необходимо привести их к одному показателю корня. Сравним числа $\sqrt{0,3}$ и $\sqrt[5]{0,05}$.

Показатели корней равны 2 и 5. Наименьшее общее кратное для 2 и 5 это 10. Приведем оба корня к показателю 10:

$\sqrt{0,3} = \sqrt[2]{0,3} = \sqrt[2 \cdot 5]{(0,3)^5} = \sqrt[10]{0,3^5}$

$\sqrt[5]{0,05} = \sqrt[5 \cdot 2]{(0,05)^2} = \sqrt[10]{(0,05)^2}$

Теперь сравним подкоренные выражения:

$0,3^5 = 0,00243$

$(0,05)^2 = 0,0025$

Так как $0,00243 < 0,0025$, то и $\sqrt[10]{0,00243} < \sqrt[10]{0,0025}$.

Следовательно, $\sqrt{0,3} < \sqrt[5]{0,05}$.

Ответ: $\sqrt{0,3} < \sqrt[5]{0,05}$.

б) Сравним числа $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[5]{8}$.

Показатели корней равны 3 и 5. Наименьшее общее кратное для 3 и 5 это 15. Приведем оба корня к показателю 15:

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 5]{4^5} = \sqrt[15]{4^5}$

$\sqrt[5]{8} = \sqrt[5 \cdot 3]{8^3} = \sqrt[15]{8^3}$

Чтобы упростить сравнение подкоренных выражений, представим их как степени одного основания, в данном случае 2:

$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$

$8^3 = (2^3)^3 = 2^9$

Так как $2^{10} > 2^9$, то и $\sqrt[15]{2^{10}} > \sqrt[15]{2^9}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{4} > \sqrt[5]{8}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4} > \sqrt[5]{8}$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{40}$.

Показатели корней равны 3 и 6. Наименьшее общее кратное для 3 и 6 это 6. Приведем первый корень к показателю 6 (второй уже имеет этот показатель):

$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[6]{49}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $49$ и $40$.

Так как $49 > 40$, то и $\sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{40}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{40}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{40}$.

г) Сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt[8]{500}$.

Показатели корней равны 2 и 8. Наименьшее общее кратное для 2 и 8 это 8. Приведем первый корень к показателю 8 (второй уже имеет этот показатель):

$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[8]{5^4}$

Вычислим подкоренное выражение:

$5^4 = 625$

Теперь сравним подкоренные выражения: $625$ и $500$.

Так как $625 > 500$, то и $\sqrt[8]{625} > \sqrt[8]{500}$.

Следовательно, $\sqrt{5} > \sqrt[8]{500}$.

Ответ: $\sqrt{5} > \sqrt[8]{500}$.

401.-

а) $&sqrt[3]{-0,4}$ и $&sqrt[5]{-0,3}$;

б) $&sqrt[5]{-5}$ и $&sqrt[3]{-3}$;

в) $&sqrt[3]{-2}$ и $&sqrt[5]{-4}$;

г) $&sqrt[3]{-5}$ и $&sqrt[5]{-3}$.

а) Сравним числа $ \sqrt[3]{-0,4} $ и $ \sqrt[5]{-0,3} $.

Для сравнения чисел с разными показателями корня, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15. Поскольку оба исходных числа отрицательные, а корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, мы можем возвести оба числа в нечетную степень 15. При этом знак неравенства сохранится, так как функция $ y=x^{15} $ является возрастающей на всей числовой оси.

Возведем первое число в 15-ю степень:$ (\sqrt[3]{-0,4})^{15} = (-0,4)^{15/3} = (-0,4)^5 = -(0,4^5) = -0,01024 $.

Возведем второе число в 15-ю степень:$ (\sqrt[5]{-0,3})^{15} = (-0,3)^{15/5} = (-0,3)^3 = -(0,3^3) = -0,027 $.

Теперь сравним полученные результаты: $ -0,01024 $ и $ -0,027 $.Так как $ 0,01024 < 0,027 $, то для отрицательных чисел $ -0,01024 > -0,027 $.

Следовательно, $ (\sqrt[3]{-0,4})^{15} > (\sqrt[5]{-0,3})^{15} $, а значит и $ \sqrt[3]{-0,4} > \sqrt[5]{-0,3} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{-0,4} > \sqrt[5]{-0,3} $.

б) Сравним числа $ \sqrt[5]{-5} $ и $ \sqrt[3]{-3} $.

Приведем корни к общему показателю, который равен $ НОК(5, 3) = 15 $. Возведем оба числа в 15-ю степень. Так как степень 15 нечетная, знак неравенства между исходными числами будет таким же, как и между их степенями.

$ (\sqrt[5]{-5})^{15} = (-5)^{15/5} = (-5)^3 = -125 $.

$ (\sqrt[3]{-3})^{15} = (-3)^{15/3} = (-3)^5 = -243 $.

Сравниваем полученные результаты: $ -125 $ и $ -243 $.Поскольку $ 125 < 243 $, то $ -125 > -243 $.

Следовательно, $ \sqrt[5]{-5} > \sqrt[3]{-3} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{-5} > \sqrt[3]{-3} $.

в) Сравним числа $ \sqrt[3]{-2} $ и $ \sqrt[5]{-4} $.

Приведем корни к общему показателю $ НОК(3, 5) = 15 $ и возведем оба числа в 15-ю степень. Знак неравенства при этом сохранится.

$ (\sqrt[3]{-2})^{15} = (-2)^{15/3} = (-2)^5 = -32 $.

$ (\sqrt[5]{-4})^{15} = (-4)^{15/5} = (-4)^3 = -64 $.

Сравниваем полученные результаты: $ -32 $ и $ -64 $.Поскольку $ 32 < 64 $, то $ -32 > -64 $.

Следовательно, $ \sqrt[3]{-2} > \sqrt[5]{-4} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{-2} > \sqrt[5]{-4} $.

г) Сравним числа $ \sqrt[3]{-5} $ и $ \sqrt[5]{-3} $.

Приведем корни к общему показателю $ НОК(3, 5) = 15 $ и возведем оба числа в 15-ю степень. Знак неравенства при этом сохранится.

$ (\sqrt[3]{-5})^{15} = (-5)^{15/3} = (-5)^5 = -3125 $.

$ (\sqrt[5]{-3})^{15} = (-3)^{15/5} = (-3)^3 = -27 $.

Сравниваем полученные результаты: $ -3125 $ и $ -27 $.Поскольку $ 3125 > 27 $, то $ -3125 < -27 $.

Следовательно, $ \sqrt[3]{-5} < \sqrt[5]{-3} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{-5} < \sqrt[5]{-3} $.