Номер 395, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 395, страница 212.

Условие.

395. Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа:

а) $\sqrt[4]{2}$;

б) $\sqrt[3]{5}$;

в) $\sqrt{7}$;

г) $\sqrt[3]{3}$.

Решение 1.

Решение 5.

а) Для того чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt[4]{2}$, мы будем последовательно подбирать десятичные приближения этого числа с недостатком и с избытком, возводя их в четвертую степень и сравнивая результат с числом 2. Обозначим искомое число как $x = \sqrt[4]{2}$, тогда $x^4 = 2$.
1. Найдём целую часть числа. Проверим степени целых чисел:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
Поскольку $1 < 2 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{2} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,a$ (десятые доли):
$1.1^4 = (1.1^2)^2 = 1.21^2 = 1.4641$
$1.2^4 = (1.2^2)^2 = 1.44^2 = 2.0736$
Так как $1.4641 < 2 < 2.0736$, то $1.1 < \sqrt[4]{2} < 1.2$. Первая цифра после запятой — 1.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,1b$ (сотые доли):
$1.18^4 = (1.18^2)^2 = 1.3924^2 = 1.93877776$
$1.19^4 = (1.19^2)^2 = 1.4161^2 = 2.00531521$
Поскольку $1.18^4 < 2 < 1.19^4$, то $1.18 < \sqrt[4]{2} < 1.19$.
Следовательно, $\sqrt[4]{2} \approx 1,18...$ Первые два десятичных знака — 18.
Ответ: 18.

б) Чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt[3]{5}$, будем искать число $x$ такое, что $x^3 \approx 5$, методом подбора.
1. Найдём целую часть. Проверим кубы целых чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Поскольку $1 < 5 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,a$ (десятые доли):
$1.7^3 = 1.7 \times 1.7 \times 1.7 = 2.89 \times 1.7 = 4.913$
$1.8^3 = 1.8 \times 1.8 \times 1.8 = 3.24 \times 1.8 = 5.832$
Так как $1.7^3 < 5 < 1.8^3$, то $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$. Первая цифра после запятой — 7.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,7b$ (сотые доли):
$1.70^3 = 4.913$
$1.71^3 = 1.71 \times 1.71 \times 1.71 = 2.9241 \times 1.71 = 5.000211$
Поскольку $1.70^3 < 5 < 1.71^3$, то $1.70 < \sqrt[3]{5} < 1.71$.
Следовательно, $\sqrt[3]{5} \approx 1,70...$ Первые два десятичных знака — 70.
Ответ: 70.

в) Чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt{7}$, будем искать число $x$ такое, что $x^2 \approx 7$, методом подбора.
1. Найдём целую часть. Проверим квадраты целых чисел:
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
Поскольку $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Целая часть равна 2.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $2,a$ (десятые доли):
$2.6^2 = 6.76$
$2.7^2 = 7.29$
Так как $2.6^2 < 7 < 2.7^2$, то $2.6 < \sqrt{7} < 2.7$. Первая цифра после запятой — 6.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $2,6b$ (сотые доли):
$2.64^2 = 6.9696$
$2.65^2 = 7.0225$
Поскольку $2.64^2 < 7 < 2.65^2$, то $2.64 < \sqrt{7} < 2.65$.
Следовательно, $\sqrt{7} \approx 2,64...$ Первые два десятичных знака — 64.
Ответ: 64.

г) Чтобы найти первые два десятичных знака числа $\sqrt[3]{3}$, будем искать число $x$ такое, что $x^3 \approx 3$, методом подбора.
1. Найдём целую часть. Проверим кубы целых чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Поскольку $1 < 3 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,a$ (десятые доли):
$1.4^3 = 1.4 \times 1.4 \times 1.4 = 1.96 \times 1.4 = 2.744$
$1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 2.25 \times 1.5 = 3.375$
Так как $1.4^3 < 3 < 1.5^3$, то $1.4 < \sqrt[3]{3} < 1.5$. Первая цифра после запятой — 4.
3. Найдём вторую цифру после запятой. Проверим числа вида $1,4b$ (сотые доли):
$1.44^3 = 1.44 \times 1.44 \times 1.44 = 2.0736 \times 1.44 = 2.985984$
$1.45^3 = 1.45 \times 1.45 \times 1.45 = 2.1025 \times 1.45 = 3.048625$
Поскольку $1.44^3 < 3 < 1.45^3$, то $1.44 < \sqrt[3]{3} < 1.45$.
Следовательно, $\sqrt[3]{3} \approx 1,44...$ Первые два десятичных знака — 44.
Ответ: 44.