Номер 391, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 391, страница 212.

Условие.

391. a) $\sqrt[5]{160 \cdot 625}$;

б) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$;

в) $\sqrt[4]{48 \cdot 27}$;

г) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[5]{160 \cdot 625}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 5. Для этого разложим каждый множитель на простые сомножители:
$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$
$625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$
Теперь перемножим полученные разложения под знаком корня:
$\sqrt[5]{160 \cdot 625} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 5) \cdot 5^4} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^5}$
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n}=a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[5]{2^5 \cdot 5^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 5)^5} = 2 \cdot 5 = 10$
Ответ: 10

б) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 3. Разложим множители на простые сомножители:
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$9 = 3^2$
Перемножим разложения под знаком корня:
$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

в) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[4]{48 \cdot 27}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 4. Разложим множители на простые сомножители:
$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$27 = 3^3$
Перемножим разложения под знаком корня:
$\sqrt[4]{48 \cdot 27} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot 3) \cdot 3^3} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^{1+3}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

г) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$, представим подкоренное выражение в виде произведения степеней с показателем 3. Разложим множители на простые сомножители:
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Перемножим разложения под знаком корня:
$\sqrt[3]{75 \cdot 45} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \sqrt[3]{3^{1+2} \cdot 5^{2+1}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 15