Номер 386, страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 386, страница 211.

Условие.

386. a) $x^{10} - 15 = 0;$

б) $x^7 + 128 = 0;$

В) $x^6 - 64 = 0;$

Г) $x^5 = 3.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано уравнение $x^{10} - 15 = 0$.

Чтобы найти $x$, сначала изолируем член с переменной, перенеся константу в правую часть уравнения:

$x^{10} = 15$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=10$ является четным числом, а правая часть $a=15$ — положительным числом. В таком случае уравнение имеет два действительных корня, которые симметричны относительно нуля.

Корни находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$.

Подставим наши значения $n=10$ и $a=15$:

$x = \pm \sqrt[10]{15}$

Ответ: $x = \pm \sqrt[10]{15}$

б)

Дано уравнение $x^7 + 128 = 0$.

Перенесем константу в правую часть уравнения:

$x^7 = -128$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=7$ является нечетным числом. Уравнение с нечетным показателем всегда имеет один действительный корень, независимо от знака правой части $a$.

Корень находится извлечением корня нечетной степени из обеих частей:

$x = \sqrt[7]{-128}$

Мы знаем, что $(-2)^7 = -128$, поэтому корень можно вычислить точно:

$x = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2$

Ответ: $x = -2$

в)

Дано уравнение $x^6 - 64 = 0$.

Перенесем константу в правую часть:

$x^6 = 64$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=6$ является четным числом, а правая часть $a=64$ — положительным числом. Уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$.

Подставим наши значения $n=6$ и $a=64$:

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Так как $2^6 = 64$, мы можем вычислить корень:

$x = \pm \sqrt[6]{2^6} = \pm 2$

Ответ: $x = \pm 2$

г)

Дано уравнение $x^5 = 3$.

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=5$ является нечетным числом, а правая часть $a=3$ — положительным числом. Уравнение с нечетным показателем имеет один действительный корень.

Чтобы найти $x$, извлечем корень 5-й степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[5]{3}$

Это иррациональное число, которое является точным решением уравнения.

Ответ: $x = \sqrt[5]{3}$