Номер 392, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 392, страница 212.

Условие.

392. a) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9}$;

б) $\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8}$;

в) $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$;

г) $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы перемножить корни с разными показателями, представим их в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $.
$ \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9} = 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}} $
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $).
$ 9^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 9^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 9^{\frac{3}{6}} = 9^{\frac{1}{2}} $
Преобразуем степень обратно в корень:
$ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 $.
Ответ: $3$.

б) В данном выражении оба корня имеют одинаковую степень $7$. Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $.
$ \sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8} = \sqrt[7]{16 \cdot (-8)} = \sqrt[7]{-128} $
Теперь извлечем корень седьмой степени. Так как $ (-2)^7 = -128 $, то:
$ \sqrt[7]{-128} = -2 $.
Ответ: $-2$.

в) Так как степени корней одинаковы ($5$), используем свойство произведения корней: $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $.
$ \sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9} $
Для удобства представим подкоренные выражения в виде степеней числа 3: $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $.
$ \sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2} = \sqrt[5]{3^{3+2}} = \sqrt[5]{3^5} $
Используя свойство $ \sqrt[n]{a^n} = a $, получаем:
$ \sqrt[5]{3^5} = 3 $.
Ответ: $3$.

г) В этом выражении корни имеют разные степени ($3$ и $6$).
Сначала вынесем знак минуса из-под корня нечетной степени, используя свойство $ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $ для нечетного $n$.
$ \sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25} = -\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{25} $
Теперь представим корни в виде степеней с рациональными показателями.
$ -\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{25} = -(25^{\frac{1}{3}}) \cdot 25^{\frac{1}{6}} $
Сложим показатели степеней:
$ -(25^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}) = -(25^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}) = -(25^{\frac{3}{6}}) = -(25^{\frac{1}{2}}) $
Вычислим значение:
$ -(25^{\frac{1}{2}}) = -\sqrt{25} = -5 $.
Ответ: $-5$.