Номер 394, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 394, страница 212.

Условие.

394. a) $ \sqrt[6]{\frac{64}{100000000}} \cdot \sqrt[4]{39\frac{1}{16}} : \sqrt[3]{-3\frac{19}{27}}; $

б) $ \sqrt[5]{1\frac{11}{16}} \cdot 4,5 - \frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{288}}; $

в) $ \sqrt[5]{-\frac{243}{1024}} \cdot \sqrt[3]{-4\frac{17}{27}}; $

г) $ \sqrt[4]{3\frac{3}{8}} \cdot 1\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{80}}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Вычислим значение выражения по частям: $\sqrt[6]{\frac{64}{100000000}} \cdot \sqrt[4]{39\frac{1}{16}} : \sqrt[3]{-3\frac{19}{27}}$

1. Упростим первый множитель: $\sqrt[6]{\frac{64}{100000000}} = \sqrt[6]{\frac{2^6}{10^8}} = \frac{(2^6)^{1/6}}{(10^8)^{1/6}} = \frac{2}{10^{8/6}} = \frac{2}{10^{4/3}}$.

2. Упростим второй множитель. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $39\frac{1}{16} = \frac{39 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{624+1}{16} = \frac{625}{16}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{2^4}} = \frac{5}{2}$.

3. Упростим делитель. Преобразуем смешанную дробь: $-3\frac{19}{27} = -\frac{3 \cdot 27 + 19}{27} = -\frac{81+19}{27} = -\frac{100}{27}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[3]{-\frac{100}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{100}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{10^2}}{\sqrt[3]{3^3}} = -\frac{10^{2/3}}{3}$.

4. Объединим все части. Выполним сначала умножение, а затем деление:
$(\frac{2}{10^{4/3}} \cdot \frac{5}{2}) : \left(-\frac{10^{2/3}}{3}\right) = \frac{5}{10^{4/3}} : \left(-\frac{10^{2/3}}{3}\right)$

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей дробь:
$\frac{5}{10^{4/3}} \cdot \left(-\frac{3}{10^{2/3}}\right) = -\frac{5 \cdot 3}{10^{4/3} \cdot 10^{2/3}} = -\frac{15}{10^{4/3+2/3}} = -\frac{15}{10^{6/3}} = -\frac{15}{10^2} = -\frac{15}{100}$.

Сократим полученную дробь: $-\frac{15}{100} = -\frac{3}{20}$.

Ответ: $-\frac{3}{20}$.

б)

Решим выражение: $\sqrt[5]{1\frac{11}{16} \cdot 4,5} - \frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{288}}$

1. Упростим уменьшаемое. Преобразуем смешанную дробь и десятичное число в неправильные дроби: $1\frac{11}{16} = \frac{16+11}{16} = \frac{27}{16}$; $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.
$\sqrt[5]{1\frac{11}{16} \cdot 4,5} = \sqrt[5]{\frac{27}{16} \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[5]{\frac{3^3}{2^4} \cdot \frac{3^2}{2}} = \sqrt[5]{\frac{3^3 \cdot 3^2}{2^4 \cdot 2^1}} = \sqrt[5]{\frac{3^5}{2^5}} = \frac{3}{2}$.

2. Упростим вычитаемое, используя свойство корня из частного $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$: $\frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{288}} = \sqrt[5]{\frac{9}{288}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{9}{288} = \frac{1}{32}$.
Тогда $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним вычитание: $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

в)

Вычислим произведение: $\sqrt[5]{-\frac{243}{1024}} \cdot \sqrt[3]{-4\frac{17}{27}}$

1. Упростим первый множитель. Так как корень нечетной степени, знак минус можно вынести: $\sqrt[5]{-\frac{243}{1024}} = -\sqrt[5]{\frac{243}{1024}}$.
Заметим, что $243 = 3^5$ и $1024 = 4^5$ (так как $1024 = 2^{10} = (2^2)^5$).
Тогда $-\sqrt[5]{\frac{3^5}{4^5}} = -\frac{3}{4}$.

2. Упростим второй множитель. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-4\frac{17}{27} = -\frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = -\frac{108+17}{27} = -\frac{125}{27}$.
Извлечем корень: $\sqrt[3]{-\frac{125}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{5^3}{3^3}} = -\frac{5}{3}$.

3. Перемножим полученные значения: $(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{5}{3}) = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

г)

Найдем значение выражения: $\sqrt[4]{3\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{80}}$

1. Упростим первое слагаемое. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$; $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
$\sqrt[4]{3\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{\frac{27}{8} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt[4]{\frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$.
Так как $81 = 3^4$ и $16=2^4$, получаем $\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}} = \frac{3}{2}$.

2. Упростим второе слагаемое, используя свойство корня из частного: $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{80}} = \sqrt[4]{\frac{5}{80}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
Тогда $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^4}} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним сложение: $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2$.