Номер 400, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 400, страница 212.

Условие.

400.-

а) $\sqrt{0,3}$ и $\sqrt[5]{0,05}$;

б) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[5]{8}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{40}$;

г) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[8]{500}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для того чтобы сравнить два корня с разными степенями, необходимо привести их к одному показателю корня. Сравним числа $\sqrt{0,3}$ и $\sqrt[5]{0,05}$.

Показатели корней равны 2 и 5. Наименьшее общее кратное для 2 и 5 это 10. Приведем оба корня к показателю 10:

$\sqrt{0,3} = \sqrt[2]{0,3} = \sqrt[2 \cdot 5]{(0,3)^5} = \sqrt[10]{0,3^5}$

$\sqrt[5]{0,05} = \sqrt[5 \cdot 2]{(0,05)^2} = \sqrt[10]{(0,05)^2}$

Теперь сравним подкоренные выражения:

$0,3^5 = 0,00243$

$(0,05)^2 = 0,0025$

Так как $0,00243 < 0,0025$, то и $\sqrt[10]{0,00243} < \sqrt[10]{0,0025}$.

Следовательно, $\sqrt{0,3} < \sqrt[5]{0,05}$.

Ответ: $\sqrt{0,3} < \sqrt[5]{0,05}$.

б) Сравним числа $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[5]{8}$.

Показатели корней равны 3 и 5. Наименьшее общее кратное для 3 и 5 это 15. Приведем оба корня к показателю 15:

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 5]{4^5} = \sqrt[15]{4^5}$

$\sqrt[5]{8} = \sqrt[5 \cdot 3]{8^3} = \sqrt[15]{8^3}$

Чтобы упростить сравнение подкоренных выражений, представим их как степени одного основания, в данном случае 2:

$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$

$8^3 = (2^3)^3 = 2^9$

Так как $2^{10} > 2^9$, то и $\sqrt[15]{2^{10}} > \sqrt[15]{2^9}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{4} > \sqrt[5]{8}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4} > \sqrt[5]{8}$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{40}$.

Показатели корней равны 3 и 6. Наименьшее общее кратное для 3 и 6 это 6. Приведем первый корень к показателю 6 (второй уже имеет этот показатель):

$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[6]{49}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $49$ и $40$.

Так как $49 > 40$, то и $\sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{40}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{40}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{40}$.

г) Сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt[8]{500}$.

Показатели корней равны 2 и 8. Наименьшее общее кратное для 2 и 8 это 8. Приведем первый корень к показателю 8 (второй уже имеет этот показатель):

$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[8]{5^4}$

Вычислим подкоренное выражение:

$5^4 = 625$

Теперь сравним подкоренные выражения: $625$ и $500$.

Так как $625 > 500$, то и $\sqrt[8]{625} > \sqrt[8]{500}$.

Следовательно, $\sqrt{5} > \sqrt[8]{500}$.

Ответ: $\sqrt{5} > \sqrt[8]{500}$.