Номер 403, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 403, страница 213.

Условие.

403. Внесите множитель под знак корня ($a > 0, b > 0$):

a) $-b^4 \sqrt{3}$;

б) $ab \sqrt[8]{\frac{5b^3}{a^7}}$;

в) $a \sqrt[4]{7}$;

г) $-ab \sqrt[3]{-4}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы внести множитель под знак корня n-ой степени, нужно возвести этот множитель в n-ую степень и умножить на подкоренное выражение. Важно учитывать знак множителя и четность степени корня.

По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, что означает, что переменные $a$ и $b$ являются положительными числами.

а)

В выражении $-b \sqrt[4]{3}$ множитель перед корнем - это $-b$. Так как степень корня (4) четная, знак "минус" мы оставляем перед корнем, а под корень вносим только положительный множитель $b$ (поскольку по условию $b > 0$).

Возводим $b$ в 4-ю степень и вносим под корень:

$-b \sqrt[4]{3} = -\sqrt[4]{b^4 \cdot 3} = -\sqrt[4]{3b^4}$

Ответ: $-\sqrt[4]{3b^4}$

б)

В выражении $ab \sqrt[8]{\frac{5b^3}{a^7}}$ множитель перед корнем $ab$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$. Степень корня равна 8.

Возводим множитель $ab$ в 8-ю степень и вносим под корень:

$ab \sqrt[8]{\frac{5b^3}{a^7}} = \sqrt[8]{(ab)^8 \cdot \frac{5b^3}{a^7}} = \sqrt[8]{a^8b^8 \cdot \frac{5b^3}{a^7}}$

Теперь упростим подкоренное выражение, используя свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ и $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $):

$\sqrt[8]{\frac{a^8b^8 \cdot 5b^3}{a^7}} = \sqrt[8]{5 \cdot a^{8-7} \cdot b^{8+3}} = \sqrt[8]{5ab^{11}}$

Ответ: $\sqrt[8]{5ab^{11}}$

в)

В выражении $a \sqrt[4]{7}$ множитель перед корнем $a$. По условию $a > 0$. Степень корня равна 4.

Возводим $a$ в 4-ю степень и вносим под корень:

$a \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 7} = \sqrt[4]{7a^4}$

Ответ: $\sqrt[4]{7a^4}$

г)

В выражении $-ab \sqrt[3]{-4}$ множитель перед корнем $-ab$. Степень корня (3) нечетная. Это позволяет вносить под корень отрицательные множители.

Возводим весь множитель $-ab$ в 3-ю степень и вносим под корень:

$-ab \sqrt[3]{-4} = \sqrt[3]{(-ab)^3 \cdot (-4)}$

Упростим подкоренное выражение:

$(-ab)^3 = (-1)^3 a^3 b^3 = -a^3b^3$

$\sqrt[3]{(-a^3b^3) \cdot (-4)} = \sqrt[3]{4a^3b^3}$

Также можно было сначала упростить исходное выражение. Так как корень нечетной степени, $\sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$.

$-ab \sqrt[3]{-4} = -ab (-\sqrt[3]{4}) = ab\sqrt[3]{4}$

Теперь внесем положительный множитель $ab$ под знак корня:

$ab\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(ab)^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{a^3b^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{4a^3b^3}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt[3]{4a^3b^3}$