Номер 407, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 407, страница 213.

Условие.

407. а) $\frac{a}{\sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}技术; $

В) $\frac{4}{x\sqrt[4]{4}}$;

г) $\frac{5}{3\sqrt[5]{5}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{a}{\sqrt[3]{2}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе из-под корня можно было извлечь целое число. Используем свойство $ \sqrt[n]{x^n} = x $.

В знаменателе находится $ \sqrt[3]{2} $, или $ \sqrt[3]{2^1} $. Чтобы подкоренное выражение стало полным кубом ($ 2^3 $), нужно домножить его на $ 2^2 $. Соответственно, всю дробь домножаем на $ \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} $.

$ \frac{a}{\sqrt[3]{2}} = \frac{a \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{a \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{a \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{a \sqrt[3]{4}}{2} $

Ответ: $ \frac{a \sqrt[3]{4}}{2} $

б) В выражении $ \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $ необходимо избавиться от $ \sqrt{x} $ в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{x} $. Предполагается, что $ x > 0 $, иначе выражение не определено.

$ \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{(x - \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2(\sqrt{x})^2} = \frac{x\sqrt{x} - x}{2x} $

Теперь можно вынести общий множитель $ x $ в числителе и сократить дробь:

$ \frac{x(\sqrt{x} - 1)}{2x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x} - 1}{2} $

в) В дроби $ \frac{4}{x\sqrt[4]{4}} $ сначала упростим корень в знаменателе.

$ \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{4}{x\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{x\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{x \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{x} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{x} $

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{3\sqrt[5]{5}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало пятой степенью числа.

В знаменателе у нас $ \sqrt[5]{5} $, или $ \sqrt[5]{5^1} $. Чтобы получить под корнем $ 5^5 $, нужно домножить на $ \sqrt[5]{5^4} $.

$ \frac{5}{3\sqrt[5]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[5]{5^4}}{3\sqrt[5]{5} \cdot \sqrt[5]{5^4}} = \frac{5\sqrt[5]{5^4}}{3\sqrt[5]{5^5}} = \frac{5\sqrt[5]{625}}{3 \cdot 5} $

Сократим числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{\sqrt[5]{625}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[5]{625}}{3} $