Номер 412, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 412, страница 213.

Условие.

412. a) $\sqrt[3]{x} < -7$;

б) $\sqrt[6]{x} \ge 2$;

в) $\sqrt[3]{x} > 2$;

г) $\sqrt[4]{x} \le 3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} < -7$.

Поскольку показатель корня (3) является нечетным числом, функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел $x$ и является монотонно возрастающей. Это позволяет нам возвести обе части неравенства в третью степень, сохраняя при этом знак неравенства.

$(\sqrt[3]{x})^3 < (-7)^3$

Вычисляем степени:

$x < -343$

Решением является интервал $(-\infty; -343)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -343)$.

б)

Дано неравенство $\sqrt[6]{x} \ge 2$.

Показатель корня (6) — четное число. Это означает, что подкоренное выражение не может быть отрицательным. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ge 0$.

На своей области определения функция $y = \sqrt[6]{x}$ является монотонно возрастающей. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в шестую степень, сохранив знак неравенства.

$(\sqrt[6]{x})^6 \ge 2^6$

Вычисляем степень:

$x \ge 64$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), так как все числа, большие или равные 64, также больше или равны 0.

Ответ: $x \in [64; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 2$.

Так как показатель корня (3) нечетный, функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена и монотонно возрастает на всей числовой оси. Возводим обе части неравенства в куб:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 2^3$

Вычисляем степень:

$x > 8$

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $\sqrt[4]{x} \le 3$.

Показатель корня (4) — четное число, следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

Корень четной степени по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Правая часть неравенства (3) также положительна. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{x})^4 \le 3^4$

Вычисляем степень:

$x \le 81$

Теперь объединяем полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x \le 81$ и $x \ge 0$.

$0 \le x \le 81$

Ответ: $x \in [0; 81]$.