Номер 417, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 417, страница 216.

Условие.

Решите уравнения (417—420).

417.

а) $\sqrt{x^4 + 19} = 10;$

б) $\sqrt[3]{x^2 - 28} = 2;$

в) $\sqrt{61 - x^2} = 5;$

г) $\sqrt[3]{x - 9} = -3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^4 + 19} = 10$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^4 + 19 \ge 0$. Так как $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то $x^4 + 19$ всегда будет положительным числом. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x^4 + 19})^2 = 10^2$

$x^4 + 19 = 100$

Перенесем 19 в правую часть уравнения, чтобы выразить $x^4$:

$x^4 = 100 - 19$

$x^4 = 81$

Теперь найдем значения $x$, извлекая корень четвертой степени. Так как степень четная, будет два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Поскольку $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = \pm 3$.

б)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^2 - 28} = 2$.

Поскольку корень нечетной (третьей) степени определен для любого действительного числа, ограничений на область допустимых значений $x$ нет.

Для решения возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^2 - 28})^3 = 2^3$

$x^2 - 28 = 8$

Перенесем -28 в правую часть:

$x^2 = 8 + 28$

$x^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm \sqrt{36}$

$x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Ответ: $x = \pm 6$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{61 - x^2} = 5$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $61 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 61$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{61 - x^2})^2 = 5^2$

$61 - x^2 = 25$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 61 - 25$

$x^2 = 36$

Найдем значения $x$:

$x = \pm \sqrt{36}$

$x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x^2 \le 61$):

Для $x=6$: $6^2 = 36$, $36 \le 61$. Условие выполняется.

Для $x=-6$: $(-6)^2 = 36$, $36 \le 61$. Условие выполняется.

Оба корня подходят.

Ответ: $x = \pm 6$.

г)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x - 9} = -3$.

Так как корень нечетной степени, ОДЗ — все действительные числа. Корень нечетной степени может быть отрицательным.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x - 9})^3 = (-3)^3$

$x - 9 = -27$

Выразим $x$:

$x = -27 + 9$

$x = -18$

Проверка: $\sqrt[3]{-18 - 9} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Равенство верно.

Ответ: $x = -18$.