Номер 411, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 411, страница 213.

Условие.

Решите неравенства (411–412).

411.

а) $x^4 < 3$;

б) $x^{11} \ge 7$;

в) $x^{10} > 2$;

г) $x^3 \le 5$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано неравенство $x^4 < 3$.
Поскольку показатель степени $4$ — четное число, функция $y=x^4$ является четной. Неравенство $x^4 < 3$ эквивалентно неравенству $|x|^4 < 3$.
Извлечем корень 4-й степени из обеих частей:
$\sqrt[4]{|x|^4} < \sqrt[4]{3}$
$|x| < \sqrt[4]{3}$
Это неравенство равносильно системе неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} x < \sqrt[4]{3} \\ x > -\sqrt[4]{3} \end{array} \right.$
Таким образом, решение представляет собой интервал $-\sqrt[4]{3} < x < \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $(-\sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{3})$.

б) Дано неравенство $x^{11} \ge 7$.
Поскольку показатель степени $11$ — нечетное число, функция $y=x^{11}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Следовательно, можно извлечь корень 11-й степени из обеих частей неравенства, сохраняя его знак:
$\sqrt[11]{x^{11}} \ge \sqrt[11]{7}$
$x \ge \sqrt[11]{7}$
Решением является числовой промежуток от $\sqrt[11]{7}$ до $+\infty$, включая $\sqrt[11]{7}$.
Ответ: $[\sqrt[11]{7}; +\infty)$.

в) Дано неравенство $x^{10} > 2$.
Поскольку показатель степени $10$ — четное число, функция $y=x^{10}$ является четной. Неравенство $x^{10} > 2$ эквивалентно неравенству $|x|^{10} > 2$.
Извлечем корень 10-й степени из обеих частей:
$\sqrt[10]{|x|^{10}} > \sqrt[10]{2}$
$|x| > \sqrt[10]{2}$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} x > \sqrt[10]{2} \\ x < -\sqrt[10]{2} \end{array} \right.$
Таким образом, решение — это объединение двух интервалов.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt[10]{2}) \cup (\sqrt[10]{2}; +\infty)$.

г) Дано неравенство $x^3 \le 5$.
Поскольку показатель степени $3$ — нечетное число, функция $y=x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства, сохраняя его знак:
$\sqrt[3]{x^3} \le \sqrt[3]{5}$
$x \le \sqrt[3]{5}$
Решением является числовой промежуток от $-\infty$ до $\sqrt[3]{5}$, включая $\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $(-\infty; \sqrt[3]{5}]$.