Номер 409, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 409, страница 213.

Условие.

409. a) $ {}^{12}\\sqrt{25^3} $;

б) $ {}^{3}\\sqrt{\\frac{1}{2}} \\cdot {}^{4}\\sqrt{2} $;

в) $ {}^{8}\\sqrt{\\frac{16^3}{81}} $;

г) $ {}^{4}\\sqrt{\\frac{1}{4}} {}^{3}\\sqrt{5} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[12]{25^3}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и свойством степеней $(a^k)^l=a^{kl}$.

1. Представим выражение в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[12]{25^3} = 25^{\frac{3}{12}}$

2. Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
Таким образом, выражение равно $25^{\frac{1}{4}}$.

3. Заметим, что основание степени $25$ можно представить как $5^2$:
$25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}}$

4. Применим свойство возведения степени в степень:
$(5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$

5. Переведем степень обратно в корень:
$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{2}}$ будем использовать свойства корней: $a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$ и $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.

1. Внесем множитель $\frac{1}{2}$ под знак корня четвертой степени:
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{(\frac{1}{2})^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{\frac{1}{16} \cdot 2} = \sqrt[4]{\frac{2}{16}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$

2. Подставим полученное выражение в исходное:
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{1}{8}}}$

3. Применим свойство "корень из корня":
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{1}{8}}} = \sqrt[3 \cdot 4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[12]{\frac{1}{8}}$

4. Представим $8$ как степень двойки ($8 = 2^3$) и упростим:
$\sqrt[12]{\frac{1}{2^3}} = \sqrt[12]{2^{-3}} = 2^{-\frac{3}{12}} = 2^{-\frac{1}{4}}$

5. Запишем результат в виде корня и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$2^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[4]{2^3}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2^3}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}}$.

1. Представим числа в числителе и знаменателе в виде степеней простых чисел. $16 = 2^4$, $81 = 3^4$.
$\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}} = \sqrt[8]{\frac{(2^4)^3}{3^4}} = \sqrt[8]{\frac{2^{12}}{3^4}}$

2. Представим выражение в виде степеней с рациональными показателями:
$(\frac{2^{12}}{3^4})^{\frac{1}{8}} = \frac{2^{12 \cdot \frac{1}{8}}}{3^{4 \cdot \frac{1}{8}}} = \frac{2^{\frac{12}{8}}}{3^{\frac{4}{8}}}$

3. Сократим дроби в показателях:
$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

4. Перейдем обратно к корням:
$\frac{\sqrt{2^3}}{\sqrt{3^1}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

5. Упростим числитель и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{1}{4} \sqrt[3]{5}}$.

1. Внесем множитель $\frac{1}{4}$ под знак кубического корня:
$\frac{1}{4} \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 5} = \sqrt[3]{\frac{5}{64}}$

2. Подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{\frac{5}{64}}}$

3. Воспользуемся свойством "корень из корня":
$\sqrt[4 \cdot 3]{\frac{5}{64}} = \sqrt[12]{\frac{5}{64}}$

4. Представим $64$ как $2^6$ и воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[12]{\frac{5}{2^6}} = \frac{\sqrt[12]{5}}{\sqrt[12]{2^6}}$

5. Упростим знаменатель:
$\sqrt[12]{2^6} = 2^{\frac{6}{12}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
Получаем выражение $\frac{\sqrt[12]{5}}{\sqrt{2}}$.

6. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{\sqrt[12]{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt{2}}{2}$

7. Для объединения корней в числителе приведем их к одному показателю $12$:
$\sqrt{2} = \sqrt[12]{2^6} = \sqrt[12]{64}$
$\frac{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt[12]{64}}{2} = \frac{\sqrt[12]{5 \cdot 64}}{2} = \frac{\sqrt[12]{320}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt[12]{320}}{2}$