Номер 402, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 402, страница 213.

Условие.

402. — Вынесите множитель за знак корня ($a > 0, b > 0$):

а) $\sqrt[6]{64a^8b^{11}}$;

б) $\sqrt[5]{-128a^7}$;

в) $\sqrt[4]{6a^{12}b^6}$;

г) $\sqrt[3]{54a^{10}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt[6]{64a^8b^{11}}$, разложим подкоренное выражение на множители, которые являются полными шестыми степенями. Учтем, что по условию $a > 0$ и $b > 0$.

1. Разложим числовой коэффициент: $64 = 2^6$.

2. Разложим переменные со степенями. Для этого представим их степени в виде $m = 6k + r$, где $k$ - целая часть от деления степени на 6, а $r$ - остаток.

Для $a^8$: $8 = 6 \cdot 1 + 2$, поэтому $a^8 = a^6 \cdot a^2$.

Для $b^{11}$: $11 = 6 \cdot 1 + 5$, поэтому $b^{11} = b^6 \cdot b^5$.

Теперь сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[6]{64a^8b^{11}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot a^6 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b^5} = \sqrt[6]{(2^6 a^6 b^6) \cdot (a^2 b^5)} = \sqrt[6]{(2ab)^6 \cdot a^2b^5}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, выносим множитель:

$\sqrt[6]{(2ab)^6} \cdot \sqrt[6]{a^2b^5} = 2ab\sqrt[6]{a^2b^5}$ (поскольку $a > 0, b > 0$).

Ответ: $2ab\sqrt[6]{a^2b^5}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{-128a^7}$. Корень нечетной степени (5-й), поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным. По условию $a > 0$.

1. Разложим числовой коэффициент: $-128$. Так как $128 = 2^7 = 2^5 \cdot 2^2$, то $-128 = -1 \cdot 2^5 \cdot 2^2 = (-2)^5 \cdot 4$.

2. Разложим переменную $a^7$: $7 = 5 \cdot 1 + 2$, поэтому $a^7 = a^5 \cdot a^2$.

Соберем все под корнем:

$\sqrt[5]{-128a^7} = \sqrt[5]{(-2)^5 \cdot 4 \cdot a^5 \cdot a^2} = \sqrt[5]{((-2)^5 a^5) \cdot (4a^2)} = \sqrt[5]{(-2a)^5 \cdot 4a^2}$

Выносим множитель:

$\sqrt[5]{(-2a)^5} \cdot \sqrt[5]{4a^2} = -2a\sqrt[5]{4a^2}$

Ответ: $-2a\sqrt[5]{4a^2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{6a^{12}b^6}$. Корень четной степени (4-й). По условию $a > 0, b > 0$.

1. Число 6 не содержит множителей, являющихся полными четвертыми степенями (кроме 1), поэтому оно останется под корнем.

2. Разложим переменные. Делим их степени на 4.

Для $a^{12}$: $12 = 4 \cdot 3 + 0$, поэтому $a^{12} = a^{4 \cdot 3} = (a^3)^4$.

Для $b^6$: $6 = 4 \cdot 1 + 2$, поэтому $b^6 = b^4 \cdot b^2$.

Сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[4]{6a^{12}b^6} = \sqrt[4]{6 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 \cdot b^2} = \sqrt[4]{((a^3)^4 b^4) \cdot (6b^2)} = \sqrt[4]{(a^3b)^4 \cdot 6b^2}$

Выносим множитель. Так как $a>0$ и $b>0$, то $a^3b > 0$.

$\sqrt[4]{(a^3b)^4} \cdot \sqrt[4]{6b^2} = a^3b\sqrt[4]{6b^2}$

Ответ: $a^3b\sqrt[4]{6b^2}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{54a^{10}}$. Корень нечетной степени (3-й). По условию $a > 0$.

1. Разложим числовой коэффициент: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

2. Разложим переменную $a^{10}$. Делим степень на 3: $10 = 3 \cdot 3 + 1$.

Значит, $a^{10} = a^9 \cdot a = (a^3)^3 \cdot a$.

Сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[3]{54a^{10}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 \cdot (a^3)^3 \cdot a} = \sqrt[3]{(3^3 (a^3)^3) \cdot (2a)} = \sqrt[3]{(3a^3)^3 \cdot 2a}$

Выносим множитель:

$\sqrt[3]{(3a^3)^3} \cdot \sqrt[3]{2a} = 3a^3\sqrt[3]{2a}$

Ответ: $3a^3\sqrt[3]{2a}$