Страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

402. — Вынесите множитель за знак корня ($a > 0, b > 0$):

а) $\sqrt[6]{64a^8b^{11}}$;

б) $\sqrt[5]{-128a^7}$;

в) $\sqrt[4]{6a^{12}b^6}$;

г) $\sqrt[3]{54a^{10}}$.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt[6]{64a^8b^{11}}$, разложим подкоренное выражение на множители, которые являются полными шестыми степенями. Учтем, что по условию $a > 0$ и $b > 0$.

1. Разложим числовой коэффициент: $64 = 2^6$.

2. Разложим переменные со степенями. Для этого представим их степени в виде $m = 6k + r$, где $k$ - целая часть от деления степени на 6, а $r$ - остаток.

Для $a^8$: $8 = 6 \cdot 1 + 2$, поэтому $a^8 = a^6 \cdot a^2$.

Для $b^{11}$: $11 = 6 \cdot 1 + 5$, поэтому $b^{11} = b^6 \cdot b^5$.

Теперь сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[6]{64a^8b^{11}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot a^6 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b^5} = \sqrt[6]{(2^6 a^6 b^6) \cdot (a^2 b^5)} = \sqrt[6]{(2ab)^6 \cdot a^2b^5}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, выносим множитель:

$\sqrt[6]{(2ab)^6} \cdot \sqrt[6]{a^2b^5} = 2ab\sqrt[6]{a^2b^5}$ (поскольку $a > 0, b > 0$).

Ответ: $2ab\sqrt[6]{a^2b^5}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{-128a^7}$. Корень нечетной степени (5-й), поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным. По условию $a > 0$.

1. Разложим числовой коэффициент: $-128$. Так как $128 = 2^7 = 2^5 \cdot 2^2$, то $-128 = -1 \cdot 2^5 \cdot 2^2 = (-2)^5 \cdot 4$.

2. Разложим переменную $a^7$: $7 = 5 \cdot 1 + 2$, поэтому $a^7 = a^5 \cdot a^2$.

Соберем все под корнем:

$\sqrt[5]{-128a^7} = \sqrt[5]{(-2)^5 \cdot 4 \cdot a^5 \cdot a^2} = \sqrt[5]{((-2)^5 a^5) \cdot (4a^2)} = \sqrt[5]{(-2a)^5 \cdot 4a^2}$

Выносим множитель:

$\sqrt[5]{(-2a)^5} \cdot \sqrt[5]{4a^2} = -2a\sqrt[5]{4a^2}$

Ответ: $-2a\sqrt[5]{4a^2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{6a^{12}b^6}$. Корень четной степени (4-й). По условию $a > 0, b > 0$.

1. Число 6 не содержит множителей, являющихся полными четвертыми степенями (кроме 1), поэтому оно останется под корнем.

2. Разложим переменные. Делим их степени на 4.

Для $a^{12}$: $12 = 4 \cdot 3 + 0$, поэтому $a^{12} = a^{4 \cdot 3} = (a^3)^4$.

Для $b^6$: $6 = 4 \cdot 1 + 2$, поэтому $b^6 = b^4 \cdot b^2$.

Сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[4]{6a^{12}b^6} = \sqrt[4]{6 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 \cdot b^2} = \sqrt[4]{((a^3)^4 b^4) \cdot (6b^2)} = \sqrt[4]{(a^3b)^4 \cdot 6b^2}$

Выносим множитель. Так как $a>0$ и $b>0$, то $a^3b > 0$.

$\sqrt[4]{(a^3b)^4} \cdot \sqrt[4]{6b^2} = a^3b\sqrt[4]{6b^2}$

Ответ: $a^3b\sqrt[4]{6b^2}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{54a^{10}}$. Корень нечетной степени (3-й). По условию $a > 0$.

1. Разложим числовой коэффициент: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

2. Разложим переменную $a^{10}$. Делим степень на 3: $10 = 3 \cdot 3 + 1$.

Значит, $a^{10} = a^9 \cdot a = (a^3)^3 \cdot a$.

Сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[3]{54a^{10}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 \cdot (a^3)^3 \cdot a} = \sqrt[3]{(3^3 (a^3)^3) \cdot (2a)} = \sqrt[3]{(3a^3)^3 \cdot 2a}$

Выносим множитель:

$\sqrt[3]{(3a^3)^3} \cdot \sqrt[3]{2a} = 3a^3\sqrt[3]{2a}$

Ответ: $3a^3\sqrt[3]{2a}$

403. Внесите множитель под знак корня ($a > 0, b > 0$):

a) $-b^4 \sqrt{3}$;

б) $ab \sqrt[8]{\frac{5b^3}{a^7}}$;

в) $a \sqrt[4]{7}$;

г) $-ab \sqrt[3]{-4}$.

Чтобы внести множитель под знак корня n-ой степени, нужно возвести этот множитель в n-ую степень и умножить на подкоренное выражение. Важно учитывать знак множителя и четность степени корня.

По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, что означает, что переменные $a$ и $b$ являются положительными числами.

а)

В выражении $-b \sqrt[4]{3}$ множитель перед корнем - это $-b$. Так как степень корня (4) четная, знак "минус" мы оставляем перед корнем, а под корень вносим только положительный множитель $b$ (поскольку по условию $b > 0$).

Возводим $b$ в 4-ю степень и вносим под корень:

$-b \sqrt[4]{3} = -\sqrt[4]{b^4 \cdot 3} = -\sqrt[4]{3b^4}$

Ответ: $-\sqrt[4]{3b^4}$

б)

В выражении $ab \sqrt[8]{\frac{5b^3}{a^7}}$ множитель перед корнем $ab$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$. Степень корня равна 8.

Возводим множитель $ab$ в 8-ю степень и вносим под корень:

$ab \sqrt[8]{\frac{5b^3}{a^7}} = \sqrt[8]{(ab)^8 \cdot \frac{5b^3}{a^7}} = \sqrt[8]{a^8b^8 \cdot \frac{5b^3}{a^7}}$

Теперь упростим подкоренное выражение, используя свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ и $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $):

$\sqrt[8]{\frac{a^8b^8 \cdot 5b^3}{a^7}} = \sqrt[8]{5 \cdot a^{8-7} \cdot b^{8+3}} = \sqrt[8]{5ab^{11}}$

Ответ: $\sqrt[8]{5ab^{11}}$

в)

В выражении $a \sqrt[4]{7}$ множитель перед корнем $a$. По условию $a > 0$. Степень корня равна 4.

Возводим $a$ в 4-ю степень и вносим под корень:

$a \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 7} = \sqrt[4]{7a^4}$

Ответ: $\sqrt[4]{7a^4}$

г)

В выражении $-ab \sqrt[3]{-4}$ множитель перед корнем $-ab$. Степень корня (3) нечетная. Это позволяет вносить под корень отрицательные множители.

Возводим весь множитель $-ab$ в 3-ю степень и вносим под корень:

$-ab \sqrt[3]{-4} = \sqrt[3]{(-ab)^3 \cdot (-4)}$

Упростим подкоренное выражение:

$(-ab)^3 = (-1)^3 a^3 b^3 = -a^3b^3$

$\sqrt[3]{(-a^3b^3) \cdot (-4)} = \sqrt[3]{4a^3b^3}$

Также можно было сначала упростить исходное выражение. Так как корень нечетной степени, $\sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$.

$-ab \sqrt[3]{-4} = -ab (-\sqrt[3]{4}) = ab\sqrt[3]{4}$

Теперь внесем положительный множитель $ab$ под знак корня:

$ab\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(ab)^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{a^3b^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{4a^3b^3}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt[3]{4a^3b^3}$

При каких значениях a верно равенство (404–405)?

404. а) $\sqrt{a^2} = -a$; б) $\sqrt[3]{a^3} = a$; в) $\sqrt[5]{a^5} = |a|$; г) $\sqrt[4]{a^4} = a$.

а) Дано равенство $\sqrt{a^2} = -a$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2}$ всегда является неотрицательным числом и равен $|a|$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $|a| = -a$.

Равенство $|a| = -a$ верно тогда и только тогда, когда число $a$ является неположительным. Рассмотрим два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Равенство принимает вид $a = -a$, что эквивалентно $2a = 0$, откуда $a = 0$.

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Равенство принимает вид $-a = -a$, что является тождеством и верно для всех $a < 0$.

Объединяя оба случая, получаем, что равенство верно при $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

б) Дано равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Корень нечетной степени (в данном случае, показатель корня равен 3) из числа, возведенного в ту же степень, тождественно равен самому этому числу. Это свойство выполняется для любого действительного числа $a$, так как область определения корня нечетной степени — все действительные числа. Таким образом, $\sqrt[3]{a^3} = a$ является тождеством.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

в) Дано равенство $\sqrt[5]{a^5} = |a|$.

Поскольку показатель корня (5) является нечетным числом, то $\sqrt[5]{a^5} = a$ для любого действительного $a$.

Тогда исходное равенство принимает вид $a = |a|$.

По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда число $a$ является неотрицательным. Если $a \ge 0$, равенство $a=a$ истинно. Если $a < 0$, равенство $a = -a$ истинно только при $a=0$, что противоречит условию $a < 0$.

Следовательно, равенство верно при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

г) Дано равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$.

Корень четной степени (показатель 4) из числа, возведенного в ту же степень, по определению равен модулю этого числа: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Тогда исходное равенство принимает вид $|a| = a$.

Как и в предыдущем пункте, это равенство верно тогда и только тогда, когда $a$ — неотрицательное число.

Ответ: $a \ge 0$.

405. a) $\sqrt[3]{a^3} = -a;$
б) $\sqrt[6]{a^6} = -a;$
в) $\sqrt[4]{a^4} = |a|;$
г) $\sqrt[7]{a^7} = a.$

а) Утверждение $\sqrt[3]{a^3} = -a$ в общем случае неверно.

По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном выражении показатель корня $n=3$ является нечетным, следовательно, $\sqrt[3]{a^3} = a$ для любого $a \in \mathbb{R}$.

Равенство $a = -a$ выполняется только в одном случае: когда $a=0$. Для любого другого значения $a$ оно неверно. Например, если $a=2$, то $\sqrt[3]{2^3} = 2$, в то время как $-a = -2$. Если $a=-2$, то $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$, а $-a = -(-2) = 2$.

Ответ: Неверно.

б) Утверждение $\sqrt[6]{a^6} = -a$ в общем случае неверно.

По определению арифметического корня четной степени, для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, так как результат извлечения корня четной степени должен быть неотрицательным. В данном выражении показатель корня $n=6$ является четным, поэтому $\sqrt[6]{a^6} = |a|$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $|a| = -a$. По определению модуля, это равенство верно только для всех неположительных чисел, то есть при $a \le 0$. Если $a > 0$, то $|a| = a$, и равенство не выполняется. Так как утверждение неверно для $a > 0$, оно не является тождеством.

Ответ: Неверно.

в) Утверждение $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ верно.

Это равенство является определением арифметического корня четной степени. Для любого действительного числа $a$ выражение $a^4$ неотрицательно. Корень четной степени ($n=4$) из неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом. Модуль $|a|$ также всегда неотрицателен.

Если $a \ge 0$, то $\sqrt[4]{a^4} = a$ и $|a| = a$. Равенство верно.

Если $a < 0$, то $a^4 = (-1)^4 \cdot |a|^4 = |a|^4$. Тогда $\sqrt[4]{a^4} = \sqrt[4]{|a|^4} = |a|$, так как $|a| > 0$. Равенство также верно.

Следовательно, равенство $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ справедливо для всех действительных чисел $a$.

Ответ: Верно.

г) Утверждение $\sqrt[7]{a^7} = a$ верно.

Это равенство является свойством корня нечетной степени. Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ (в данном случае $n=7$) справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени может быть как положительным, так и отрицательным, и его знак совпадает со знаком подкоренного выражения.

Например, если $a=2$, то $\sqrt[7]{2^7} = 2$. Если $a=-2$, то $\sqrt[7]{(-2)^7} = \sqrt[7]{-128} = -2$. В обоих случаях $\sqrt[7]{a^7} = a$.

Ответ: Верно.

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406–407).

406. а) $\frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

б) $\frac{a-\sqrt{2}}{a+\sqrt{2}}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$;

г) $\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-1}$.

а) Чтобы избавиться от знака корня в знаменателе, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$ сопряженным является $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$.

$\frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.

б) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(a+\sqrt{2})$ сопряженным является $(a-\sqrt{2})$.

$\frac{a-\sqrt{2}}{a+\sqrt{2}} = \frac{(a-\sqrt{2})(a-\sqrt{2})}{(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})}$

В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2}) = a^2 - (\sqrt{2})^2 = a^2 - 2$.

В числителе применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(a-\sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + 2$.

В результате получаем дробь:

$\frac{a^2 - 2a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2}$.

Ответ: $\frac{a^2 - 2a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2}$.

в) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ сопряженным является $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$.

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

Используем формулу разности квадратов в знаменателе:

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.

Получаем выражение:

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

г) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{6}-1)$ сопряженным является $(\sqrt{6}+1)$.

$\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-1} = \frac{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$.

В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{6}+1)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7+2\sqrt{6}$.

В результате получаем дробь:

$\frac{7+2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $\frac{7+2\sqrt{6}}{5}$.

407. а) $\frac{a}{\sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}技术; $

В) $\frac{4}{x\sqrt[4]{4}}$;

г) $\frac{5}{3\sqrt[5]{5}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{a}{\sqrt[3]{2}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе из-под корня можно было извлечь целое число. Используем свойство $ \sqrt[n]{x^n} = x $.

В знаменателе находится $ \sqrt[3]{2} $, или $ \sqrt[3]{2^1} $. Чтобы подкоренное выражение стало полным кубом ($ 2^3 $), нужно домножить его на $ 2^2 $. Соответственно, всю дробь домножаем на $ \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} $.

$ \frac{a}{\sqrt[3]{2}} = \frac{a \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{a \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{a \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{a \sqrt[3]{4}}{2} $

Ответ: $ \frac{a \sqrt[3]{4}}{2} $

б) В выражении $ \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $ необходимо избавиться от $ \sqrt{x} $ в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{x} $. Предполагается, что $ x > 0 $, иначе выражение не определено.

$ \frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{(x - \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2(\sqrt{x})^2} = \frac{x\sqrt{x} - x}{2x} $

Теперь можно вынести общий множитель $ x $ в числителе и сократить дробь:

$ \frac{x(\sqrt{x} - 1)}{2x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x} - 1}{2} $

в) В дроби $ \frac{4}{x\sqrt[4]{4}} $ сначала упростим корень в знаменателе.

$ \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{4}{x\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{x\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{x \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{x} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{x} $

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{3\sqrt[5]{5}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало пятой степенью числа.

В знаменателе у нас $ \sqrt[5]{5} $, или $ \sqrt[5]{5^1} $. Чтобы получить под корнем $ 5^5 $, нужно домножить на $ \sqrt[5]{5^4} $.

$ \frac{5}{3\sqrt[5]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[5]{5^4}}{3\sqrt[5]{5} \cdot \sqrt[5]{5^4}} = \frac{5\sqrt[5]{5^4}}{3\sqrt[5]{5^5}} = \frac{5\sqrt[5]{625}}{3 \cdot 5} $

Сократим числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{\sqrt[5]{625}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[5]{625}}{3} $

Приведите числовое выражение к виду $a \sqrt[n]{b}$, где $a$ — рациональное число, а $b$ — натуральное (408—409).

408.—

а) $\frac{2}{\sqrt[3]{4}};

б) $\frac{6}{\sqrt[5]{27 \cdot 25}};

в) $\frac{3}{\sqrt[4]{12}};

г) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}.$

а)

Чтобы привести выражение $ \frac{2}{\sqrt[3]{4}} $ к заданному виду $ a \sqrt[n]{b} $, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого сначала представим подкоренное выражение в знаменателе как степень простого числа: $ 4 = 2^2 $. Тогда дробь запишется как $ \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} $. Чтобы знаменатель стал рациональным числом, подкоренное выражение должно быть полным кубом, то есть $2^3$. Для этого необходимо домножить его на $2^1$. Соответственно, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[3]{2} $: $ \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} $. После сокращения дроби на 2 получаем $ \sqrt[3]{2} $. В данном выражении $ a=1 $ (рациональное число) и $ b=2 $ (натуральное число).

Ответ: $ \sqrt[3]{2} $

б)

Для преобразования дроби $ \frac{6}{\sqrt[5]{27 \cdot 25}} $ избавимся от иррациональности в знаменателе. Разложим числа под корнем на простые множители: $ 27 = 3^3 $ и $ 25 = 5^2 $. Выражение примет вид $ \frac{6}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 5^2}} $. Чтобы извлечь корень пятой степени, показатели степеней множителей под корнем должны быть равны 5. Домножим подкоренное выражение на $3^{5-3} \cdot 5^{5-2} = 3^2 \cdot 5^3$. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{3^2 \cdot 5^3} $: $ \frac{6}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 5^2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{3^2 \cdot 5^3}}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[5]{3^2 \cdot 5^3}} = \frac{6 \sqrt[5]{9 \cdot 125}}{\sqrt[5]{3^5 \cdot 5^5}} = \frac{6 \sqrt[5]{1125}}{3 \cdot 5} = \frac{6 \sqrt[5]{1125}}{15} $. Сократим рациональный коэффициент $ \frac{6}{15} $ на 3 и получим $ \frac{2}{5} $. Итоговое выражение: $ \frac{2}{5} \sqrt[5]{1125} $. Здесь $ a=\frac{2}{5} $ (рациональное число) и $ b=1125 $ (натуральное число).

Ответ: $ \frac{2}{5}\sqrt[5]{1125} $

в)

Преобразуем выражение $ \frac{3}{\sqrt[4]{12}} $. Сначала разложим подкоренное число 12 на простые множители: $ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1 $. Дробь имеет вид $ \frac{3}{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3}} $. Чтобы избавиться от корня четвертой степени в знаменателе, необходимо, чтобы показатели степеней множителей под корнем были равны 4. Домножим подкоренное выражение на $2^{4-2} \cdot 3^{4-1} = 2^2 \cdot 3^3$. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3} $: $ \frac{3}{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3}} = \frac{3 \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}}{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}} = \frac{3 \sqrt[4]{4 \cdot 27}}{\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}} = \frac{3 \sqrt[4]{108}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \sqrt[4]{108}}{6} $. Сократив коэффициент $ \frac{3}{6} $, получаем $ \frac{1}{2} $. Итоговое выражение: $ \frac{1}{2} \sqrt[4]{108} $. Здесь $ a=\frac{1}{2} $ (рациональное число) и $ b=108 $ (натуральное число).

Ответ: $ \frac{1}{2}\sqrt[4]{108} $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{10}{\sqrt[5]{8}} $. Представим подкоренное число 8 в виде степени: $ 8 = 2^3 $. Выражение примет вид $ \frac{10}{\sqrt[5]{2^3}} $. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, подкоренное выражение должно стать полным пятой степенью, то есть $2^5$. Для этого домножим его на $2^{5-3} = 2^2$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $: $ \frac{10}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{10 \cdot \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{4}} = \frac{10 \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{10 \sqrt[5]{4}}{2} $. Сократив коэффициент $ \frac{10}{2} $, получаем 5. Итоговое выражение: $ 5\sqrt[5]{4} $. Здесь $ a=5 $ (рациональное число) и $ b=4 $ (натуральное число).

Ответ: $ 5\sqrt[5]{4} $

409. a) $ {}^{12}\\sqrt{25^3} $;

б) $ {}^{3}\\sqrt{\\frac{1}{2}} \\cdot {}^{4}\\sqrt{2} $;

в) $ {}^{8}\\sqrt{\\frac{16^3}{81}} $;

г) $ {}^{4}\\sqrt{\\frac{1}{4}} {}^{3}\\sqrt{5} $.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[12]{25^3}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и свойством степеней $(a^k)^l=a^{kl}$.

1. Представим выражение в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[12]{25^3} = 25^{\frac{3}{12}}$

2. Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
Таким образом, выражение равно $25^{\frac{1}{4}}$.

3. Заметим, что основание степени $25$ можно представить как $5^2$:
$25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}}$

4. Применим свойство возведения степени в степень:
$(5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$

5. Переведем степень обратно в корень:
$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{2}}$ будем использовать свойства корней: $a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$ и $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.

1. Внесем множитель $\frac{1}{2}$ под знак корня четвертой степени:
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{(\frac{1}{2})^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{\frac{1}{16} \cdot 2} = \sqrt[4]{\frac{2}{16}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$

2. Подставим полученное выражение в исходное:
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{1}{8}}}$

3. Применим свойство "корень из корня":
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{1}{8}}} = \sqrt[3 \cdot 4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[12]{\frac{1}{8}}$

4. Представим $8$ как степень двойки ($8 = 2^3$) и упростим:
$\sqrt[12]{\frac{1}{2^3}} = \sqrt[12]{2^{-3}} = 2^{-\frac{3}{12}} = 2^{-\frac{1}{4}}$

5. Запишем результат в виде корня и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$2^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[4]{2^3}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2^3}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}}$.

1. Представим числа в числителе и знаменателе в виде степеней простых чисел. $16 = 2^4$, $81 = 3^4$.
$\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}} = \sqrt[8]{\frac{(2^4)^3}{3^4}} = \sqrt[8]{\frac{2^{12}}{3^4}}$

2. Представим выражение в виде степеней с рациональными показателями:
$(\frac{2^{12}}{3^4})^{\frac{1}{8}} = \frac{2^{12 \cdot \frac{1}{8}}}{3^{4 \cdot \frac{1}{8}}} = \frac{2^{\frac{12}{8}}}{3^{\frac{4}{8}}}$

3. Сократим дроби в показателях:
$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

4. Перейдем обратно к корням:
$\frac{\sqrt{2^3}}{\sqrt{3^1}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

5. Упростим числитель и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{1}{4} \sqrt[3]{5}}$.

1. Внесем множитель $\frac{1}{4}$ под знак кубического корня:
$\frac{1}{4} \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 5} = \sqrt[3]{\frac{5}{64}}$

2. Подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{\frac{5}{64}}}$

3. Воспользуемся свойством "корень из корня":
$\sqrt[4 \cdot 3]{\frac{5}{64}} = \sqrt[12]{\frac{5}{64}}$

4. Представим $64$ как $2^6$ и воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[12]{\frac{5}{2^6}} = \frac{\sqrt[12]{5}}{\sqrt[12]{2^6}}$

5. Упростим знаменатель:
$\sqrt[12]{2^6} = 2^{\frac{6}{12}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
Получаем выражение $\frac{\sqrt[12]{5}}{\sqrt{2}}$.

6. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{\sqrt[12]{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt{2}}{2}$

7. Для объединения корней в числителе приведем их к одному показателю $12$:
$\sqrt{2} = \sqrt[12]{2^6} = \sqrt[12]{64}$
$\frac{\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt[12]{64}}{2} = \frac{\sqrt[12]{5 \cdot 64}}{2} = \frac{\sqrt[12]{320}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt[12]{320}}{2}$

410.— Решите уравнение с помощью подстановки $t = \sqrt[4]{x}$ или $t = \sqrt[6]{x}$:

а) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0;$

б) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = 2;$

в) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0;$

г) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} = 6.$

а) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как корень четной степени ($\sqrt[6]{x}$) определен только для неотрицательных чисел.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$. Заметим, что по определению арифметического корня, $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3.

$t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Оба значения $t$ неотрицательны, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в шестую степень: $x = 2^6 = 64$.
2. Если $t = 3$, то $\sqrt[6]{x} = 3$. Аналогично, возводим в шестую степень: $x = 3^6 = 729$.

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x_1 = 64, x_2 = 729$.

б) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = 2$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Так как $t$ является значением арифметического корня, $t \ge 0$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$t^2 + t = 2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -2, а их сумма -1. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Остается только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x} = 1$

Возводим обе части в четвертую степень:

$x = 1^4 = 1$.

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$.

в) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Используем замену $t = \sqrt[4]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно 2, а сумма 3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня неотрицательны, поэтому оба подходят.

Выполняем обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x} = 1$. Возводим в четвертую степень: $x = 1^4 = 1$.
2. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возводим в четвертую степень: $x = 2^4 = 16$.

Оба значения (1 и 16) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 16$.

г) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} = 6$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$.

Подставляем в уравнение:

$t^2 - 5t = 6$

Приведем к стандартному виду:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма 5. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Так как должно выполняться условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = 6$.

Выполняем обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 6$

Возводим обе части в шестую степень:

$x = 6^6 = 46656$.

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 46656$.

Решите неравенства (411–412).

411.

а) $x^4 < 3$;

б) $x^{11} \ge 7$;

в) $x^{10} > 2$;

г) $x^3 \le 5$.

а) Дано неравенство $x^4 < 3$.
Поскольку показатель степени $4$ — четное число, функция $y=x^4$ является четной. Неравенство $x^4 < 3$ эквивалентно неравенству $|x|^4 < 3$.
Извлечем корень 4-й степени из обеих частей:
$\sqrt[4]{|x|^4} < \sqrt[4]{3}$
$|x| < \sqrt[4]{3}$
Это неравенство равносильно системе неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} x < \sqrt[4]{3} \\ x > -\sqrt[4]{3} \end{array} \right.$
Таким образом, решение представляет собой интервал $-\sqrt[4]{3} < x < \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $(-\sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{3})$.

б) Дано неравенство $x^{11} \ge 7$.
Поскольку показатель степени $11$ — нечетное число, функция $y=x^{11}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Следовательно, можно извлечь корень 11-й степени из обеих частей неравенства, сохраняя его знак:
$\sqrt[11]{x^{11}} \ge \sqrt[11]{7}$
$x \ge \sqrt[11]{7}$
Решением является числовой промежуток от $\sqrt[11]{7}$ до $+\infty$, включая $\sqrt[11]{7}$.
Ответ: $[\sqrt[11]{7}; +\infty)$.

в) Дано неравенство $x^{10} > 2$.
Поскольку показатель степени $10$ — четное число, функция $y=x^{10}$ является четной. Неравенство $x^{10} > 2$ эквивалентно неравенству $|x|^{10} > 2$.
Извлечем корень 10-й степени из обеих частей:
$\sqrt[10]{|x|^{10}} > \sqrt[10]{2}$
$|x| > \sqrt[10]{2}$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} x > \sqrt[10]{2} \\ x < -\sqrt[10]{2} \end{array} \right.$
Таким образом, решение — это объединение двух интервалов.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt[10]{2}) \cup (\sqrt[10]{2}; +\infty)$.

г) Дано неравенство $x^3 \le 5$.
Поскольку показатель степени $3$ — нечетное число, функция $y=x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства, сохраняя его знак:
$\sqrt[3]{x^3} \le \sqrt[3]{5}$
$x \le \sqrt[3]{5}$
Решением является числовой промежуток от $-\infty$ до $\sqrt[3]{5}$, включая $\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $(-\infty; \sqrt[3]{5}]$.

412. a) $\sqrt[3]{x} < -7$;

б) $\sqrt[6]{x} \ge 2$;

в) $\sqrt[3]{x} > 2$;

г) $\sqrt[4]{x} \le 3$.

а)

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} < -7$.

Поскольку показатель корня (3) является нечетным числом, функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел $x$ и является монотонно возрастающей. Это позволяет нам возвести обе части неравенства в третью степень, сохраняя при этом знак неравенства.

$(\sqrt[3]{x})^3 < (-7)^3$

Вычисляем степени:

$x < -343$

Решением является интервал $(-\infty; -343)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -343)$.

б)

Дано неравенство $\sqrt[6]{x} \ge 2$.

Показатель корня (6) — четное число. Это означает, что подкоренное выражение не может быть отрицательным. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ge 0$.

На своей области определения функция $y = \sqrt[6]{x}$ является монотонно возрастающей. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в шестую степень, сохранив знак неравенства.

$(\sqrt[6]{x})^6 \ge 2^6$

Вычисляем степень:

$x \ge 64$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), так как все числа, большие или равные 64, также больше или равны 0.

Ответ: $x \in [64; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 2$.

Так как показатель корня (3) нечетный, функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена и монотонно возрастает на всей числовой оси. Возводим обе части неравенства в куб:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 2^3$

Вычисляем степень:

$x > 8$

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $\sqrt[4]{x} \le 3$.

Показатель корня (4) — четное число, следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

Корень четной степени по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Правая часть неравенства (3) также положительна. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{x})^4 \le 3^4$

Вычисляем степень:

$x \le 81$

Теперь объединяем полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x \le 81$ и $x \ge 0$.

$0 \le x \le 81$

Ответ: $x \in [0; 81]$.

Упростите выражения (413–414).

413. а) $ \sqrt[6]{a^6} $, где $ a < 0 $;

б) $ \sqrt[4]{a^4} $, где $ a \ge 0 $;

в) $ \sqrt[5]{a^5} $.

а) Для упрощения выражения с корнем четной степени используется тождество $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 6, что является четным числом. Следовательно, мы можем записать: $\sqrt[6]{a^6} = |a|$. По условию задачи дано, что $a < 0$. По определению модуля, для любого отрицательного числа $a$ его модуль $|a|$ равен $-a$. Таким образом, $\sqrt[6]{a^6} = -a$.
Ответ: $-a$

б) Аналогично предыдущему пункту, для упрощения выражения $\sqrt[4]{a^4}$ мы используем тождество для корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Здесь показатель корня и степень равны 4 (четное число). $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Согласно условию, $a \ge 0$. По определению модуля, для любого неотрицательного числа $a$ его модуль $|a|$ равен самому числу $a$. Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = a$.
Ответ: $a$

в) Для упрощения выражения с корнем нечетной степени используется тождество $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$. В данном выражении $\sqrt[5]{a^5}$ показатель корня и степень подкоренного выражения равны 5, что является нечетным числом. Поэтому мы можем упростить выражение напрямую: $\sqrt[5]{a^5} = a$. Это равенство справедливо для любого действительного числа $a$, так как корень нечетной степени извлекается из любого числа.
Ответ: $a$

414. a) $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$, где $a \le 0$;

б) $\sqrt[4]{a^4} + 2\sqrt[7]{a^7}$, где $a \ge 0$;

В) $\sqrt[5]{a^5} - \sqrt[6]{a^6}$, где $a \ge 0$;

Г) $\sqrt[3]{a^3} + 3\sqrt[8]{a^8}$, где $a \le 0$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$ при условии, что $a \le 0$, воспользуемся свойствами корней. Корень нечетной степени из числа в той же степени равен самому числу, поэтому $\sqrt[3]{a^3} = a$. Корень четной степени (в данном случае, квадратный) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $a - |a|$. Поскольку по условию $a \le 0$, модуль раскрывается как $|a| = -a$. Подставив это в выражение, получаем: $a - (-a) = a + a = 2a$.
Ответ: $2a$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{a^4} + 2\sqrt[7]{a^7}$ при условии, что $a \ge 0$. Корень четной степени $\sqrt[4]{a^4}$ равен $|a|$. Так как по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$. Корень нечетной степени $\sqrt[7]{a^7}$ равен $a$. Подставляем упрощенные части в исходное выражение и получаем: $a + 2a = 3a$.
Ответ: $3a$

в) Упростим выражение $\sqrt[5]{a^5} - \sqrt[6]{a^6}$ при условии, что $a \ge 0$. Корень нечетной степени $\sqrt[5]{a^5}$ равен $a$. Корень четной степени $\sqrt[6]{a^6}$ равен $|a|$. Поскольку по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$. Таким образом, выражение преобразуется к виду: $a - a = 0$.
Ответ: $0$

г) Упростим выражение $\sqrt[3]{a^3} + 3\sqrt[8]{a^8}$ при условии, что $a \le 0$. Корень нечетной степени $\sqrt[3]{a^3}$ равен $a$. Корень четной степени $\sqrt[8]{a^8}$ равен $|a|$. Так как по условию $a \le 0$, то $|a| = -a$. Подставляем упрощенные части в выражение: $a + 3|a| = a + 3(-a) = a - 3a = -2a$.
Ответ: $-2a$