Номер 413, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 413, страница 213.

Условие.

Упростите выражения (413–414).

413. а) $ \sqrt[6]{a^6} $, где $ a < 0 $;

б) $ \sqrt[4]{a^4} $, где $ a \ge 0 $;

в) $ \sqrt[5]{a^5} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения с корнем четной степени используется тождество $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 6, что является четным числом. Следовательно, мы можем записать: $\sqrt[6]{a^6} = |a|$. По условию задачи дано, что $a < 0$. По определению модуля, для любого отрицательного числа $a$ его модуль $|a|$ равен $-a$. Таким образом, $\sqrt[6]{a^6} = -a$.
Ответ: $-a$

б) Аналогично предыдущему пункту, для упрощения выражения $\sqrt[4]{a^4}$ мы используем тождество для корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Здесь показатель корня и степень равны 4 (четное число). $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Согласно условию, $a \ge 0$. По определению модуля, для любого неотрицательного числа $a$ его модуль $|a|$ равен самому числу $a$. Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = a$.
Ответ: $a$

в) Для упрощения выражения с корнем нечетной степени используется тождество $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$. В данном выражении $\sqrt[5]{a^5}$ показатель корня и степень подкоренного выражения равны 5, что является нечетным числом. Поэтому мы можем упростить выражение напрямую: $\sqrt[5]{a^5} = a$. Это равенство справедливо для любого действительного числа $a$, так как корень нечетной степени извлекается из любого числа.
Ответ: $a$