Номер 420, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 420, страница 216.

Условие.

420. a) $x = \sqrt[3]{x^3 + x^2 - 6x + 8};$

б) $x - 2 = \sqrt[3]{x^2 - 8};$

в) $x = \sqrt[3]{x^3 - x^2 - 8x + 20};$

г) $x + 1 = \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано уравнение $x = \sqrt[3]{x^3 + x^2 - 6x + 8}$.
Чтобы решить это иррациональное уравнение, возведем обе его части в третью степень. Это равносильное преобразование, так как кубический корень определен для любого действительного числа.
$x^3 = (\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 6x + 8})^3$
$x^3 = x^3 + x^2 - 6x + 8$
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$0 = x^2 - 6x + 8$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются числа 2 и 4.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 = 2^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2}$
$x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$
$x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$
Ответ: $x=2, x=4$.

б) Дано уравнение $x - 2 = \sqrt[3]{x^2 - 8}$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(x - 2)^3 = (\sqrt[3]{x^2 - 8})^3$
$(x - 2)^3 = x^2 - 8$
Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для левой части:
$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^2 - 8$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = x^2 - 8$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^3 - 6x^2 - x^2 + 12x - 8 + 8 = 0$
$x^3 - 7x^2 + 12x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 7x + 12) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, произведение равно 12. Следовательно, $x_2 = 3$ и $x_3 = 4$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x=0, x=3, x=4$.

в) Дано уравнение $x = \sqrt[3]{x^3 - x^2 - 8x + 20}$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$x^3 = (\sqrt[3]{x^3 - x^2 - 8x + 20})^3$
$x^3 = x^3 - x^2 - 8x + 20$
Упростим уравнение, вычитая $x^3$ из обеих частей:
$0 = -x^2 - 8x + 20$
Умножим на -1:
$x^2 + 8x - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 12}{2}$
$x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $x=-10, x=2$.

г) Дано уравнение $x + 1 = \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + x}$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(x + 1)^3 = (\sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + x})^3$
$(x + 1)^3 = x^3 + 2x^2 + x$
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для левой части:
$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 2x^2 + x$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 2x^2 + x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 2x^2) + (3x - x) + 1 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Левая часть является полным квадратом:
$(x + 1)^2 = 0$
Отсюда получаем единственное решение:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Ответ: $x=-1$.