Номер 424, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 424, страница 217.

Условие.

424. a) $\sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x-4};$

б) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-6} = 2;$

в) $2 + \sqrt{10-x} = \sqrt{22-x};$

г) $\sqrt{1-2x-3} = \sqrt{16+x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x-4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$
$x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$
Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как в ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.
$(\sqrt{x-3})^2 = (1 + \sqrt{x-4})^2$
$x-3 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-4} + (\sqrt{x-4})^2$
$x-3 = 1 + 2\sqrt{x-4} + x-4$
Упростим полученное выражение:
$x-3 = x-3 + 2\sqrt{x-4}$
$0 = 2\sqrt{x-4}$
$\sqrt{x-4} = 0$

Снова возведем обе части в квадрат:
$x-4=0$
$x=4$

Полученный корень $x=4$ принадлежит ОДЗ. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{4-3} = 1 + \sqrt{4-4}$
$\sqrt{1} = 1 + \sqrt{0}$
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $4$.

б) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-6} = 2$

Найдем ОДЗ:
$x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$
$x-6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 6$.

Чтобы упростить возведение в квадрат, уединим один из корней:
$\sqrt{x+2} = 2 + \sqrt{x-6}$
В области ОДЗ обе части этого уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+2})^2 = (2 + \sqrt{x-6})^2$
$x+2 = 4 + 4\sqrt{x-6} + x-6$
$x+2 = x-2 + 4\sqrt{x-6}$
$4 = 4\sqrt{x-6}$
$1 = \sqrt{x-6}$

Возведем в квадрат еще раз:
$1^2 = (\sqrt{x-6})^2$
$1 = x-6$
$x = 7$

Корень $x=7$ принадлежит ОДЗ ($7 \ge 6$). Проверка:
$\sqrt{7+2} - \sqrt{7-6} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1=2$
$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $7$.

в) $2 + \sqrt{10-x} = \sqrt{22-x}$

Найдем ОДЗ:
$10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$
$22-x \ge 0 \Rightarrow x \le 22$
Следовательно, ОДЗ: $x \le 10$.

В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(2 + \sqrt{10-x})^2 = (\sqrt{22-x})^2$
$4 + 4\sqrt{10-x} + 10-x = 22-x$
$14 - x + 4\sqrt{10-x} = 22-x$
$4\sqrt{10-x} = 22-14$
$4\sqrt{10-x} = 8$
$\sqrt{10-x} = 2$

Снова возведем в квадрат:
$(\sqrt{10-x})^2 = 2^2$
$10-x = 4$
$x=6$

Корень $x=6$ принадлежит ОДЗ ($6 \le 10$). Проверка:
Левая часть: $2 + \sqrt{10-6} = 2 + \sqrt{4} = 2+2=4$.
Правая часть: $\sqrt{22-6} = \sqrt{16} = 4$.
$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $6$.

г) $\sqrt{1-2x} - 3 = \sqrt{16+x}$

Найдем ОДЗ:
$1-2x \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 2x \Rightarrow x \le 0.5$
$16+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -16$
Общая ОДЗ: $-16 \le x \le 0.5$.

Поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{16+x}$) всегда неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:
$\sqrt{1-2x} - 3 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{1-2x} \ge 3$
Возведя обе части этого неравенства в квадрат, получим: $1-2x \ge 9 \Rightarrow -2x \ge 8 \Rightarrow x \le -4$.
С учетом ОДЗ, возможные решения должны лежать в промежутке $[-16, -4]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1-2x} - 3)^2 = (\sqrt{16+x})^2$
$(1-2x) - 6\sqrt{1-2x} + 9 = 16+x$
$10-2x - 6\sqrt{1-2x} = 16+x$
Уединим корень:
$-6\sqrt{1-2x} = 6+3x$
Разделим обе части на -3:
$2\sqrt{1-2x} = -2-x$

Перед следующим возведением в квадрат убедимся, что правая часть неотрицательна: $-2-x \ge 0 \Rightarrow x \le -2$. Это условие не сужает полученный ранее интервал для $x$. Возведем в квадрат:
$(2\sqrt{1-2x})^2 = (-2-x)^2$
$4(1-2x) = (x+2)^2$
$4-8x = x^2+4x+4$
$0 = x^2+12x$
$x(x+12)=0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=-12$.

Проверим найденные корни. Корень $x_1=0$ не удовлетворяет условию $x \le -4$, значит, он является посторонним. Корень $x_2=-12$ удовлетворяет условию $-16 \le -12 \le -4$. Выполним для него проверку:
Левая часть: $\sqrt{1-2(-12)} - 3 = \sqrt{1+24} - 3 = \sqrt{25}-3 = 5-3=2$.
Правая часть: $\sqrt{16+(-12)} = \sqrt{4} = 2$.
$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $-12$.