Номер 429, страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 429, страница 221.

Условие.

429. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt[3]{a^{-2}};

б) $\sqrt[7]{3b};

в) $\sqrt[13]{b^{-7}};

г) $\sqrt[8]{4^5}.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить выражение в виде степени с рациональным показателем, используется следующее определение степени с рациональным показателем: для любого действительного числа $a > 0$ и любых натурального $n \geq 2$ и целого $m$ справедливо равенство:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Здесь $n$ — это показатель корня, а $m$ — это показатель степени подкоренного выражения.

а) $\sqrt[3]{a^{-2}}$

В данном выражении показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{a^{-2}} = a^{\frac{-2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{-\frac{2}{3}}$

б) $\sqrt[7]{3b}$

В этом выражении подкоренное выражение $3b$ находится в первой степени, то есть $(3b)^1$. Показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[7]{3b} = \sqrt[7]{(3b)^1} = (3b)^{\frac{1}{7}}$

Ответ: $(3b)^{\frac{1}{7}}$

в) $\sqrt[13]{b^{-7}}$

Здесь показатель корня $n=13$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-7$.

Используя ту же формулу, имеем:

$\sqrt[13]{b^{-7}} = b^{\frac{-7}{13}} = b^{-\frac{7}{13}}$

Ответ: $b^{-\frac{7}{13}}$

г) $\sqrt[8]{4^5}$

В данном случае показатель корня $n=8$, а показатель степени подкоренного выражения $m=5$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[8]{4^5} = 4^{\frac{5}{8}}$

Также можно упростить это выражение, представив основание $4$ как степень числа $2$: $4 = 2^2$.

$4^{\frac{5}{8}} = (2^2)^{\frac{5}{8}}$

По свойству степени $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$, получаем:

$(2^2)^{\frac{5}{8}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{8}} = 2^{\frac{10}{8}} = 2^{\frac{5}{4}}$

Оба ответа, $4^{\frac{5}{8}}$ и $2^{\frac{5}{4}}$, верны, но второй является более упрощенным.

Ответ: $2^{\frac{5}{4}}$