Страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

428. - Представьте в виде корня из числа выражение:

a) $3^{1.2}$;

б) $5^{-\frac{2}{3}}$;

в) $4^{1.25}$;

г) $6^{-\frac{1}{2}}$.

а) Чтобы представить выражение $3^{1,2}$ в виде корня из числа, сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь:

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Таким образом, выражение можно записать как $3^{\frac{6}{5}}$.

Воспользуемся основным свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

В нашем случае основание $a=3$, числитель показателя $m=6$, а знаменатель $n=5$.

Подставляя эти значения, получаем:

$3^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{3^6}$

Теперь вычислим значение $3^6$:

$3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729$

Итак, итоговое выражение имеет вид:

Ответ: $\sqrt[5]{729}$

б) Чтобы представить выражение $5^{-\frac{2}{3}}$ в виде корня из числа, воспользуемся свойством степени с отрицательным рациональным показателем: $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ или $a^{-\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{-m}}$.

В данном случае $a=5$, $m=2$, $n=3$.

Используем второй вариант представления для получения корня из числа:

$5^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^{-2}}$

Теперь преобразуем степень с отрицательным показателем внутри корня:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Подставим это значение обратно в корень:

$ \sqrt[3]{\frac{1}{25}} $

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{1}{25}}$

в) Чтобы представить выражение $4^{1,25}$ в виде корня из числа, сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь:

$1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь выражение можно записать как $4^{\frac{5}{4}}$.

Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Здесь $a=4$, $m=5$, $n=4$.

$4^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{4^5}$

Вычислим значение $4^5$:

$4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$

Следовательно, итоговое выражение:

Ответ: $\sqrt[4]{1024}$

г) Чтобы представить выражение $6^{-1\frac{1}{2}}$ в виде корня из числа, сначала преобразуем смешанную степень в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$

Выражение принимает вид $6^{-\frac{3}{2}}$.

Воспользуемся свойством $a^{-\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{-m}}$.

В нашем случае $a=6$, $m=3$, $n=2$. Показатель корня $n=2$ для квадратного корня обычно не пишется.

$6^{-\frac{3}{2}} = \sqrt{6^{-3}}$

Преобразуем степень под корнем:

$6^{-3} = \frac{1}{6^3}$

Вычислим $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Таким образом, $6^{-3} = \frac{1}{216}$. Подставляем обратно в корень:

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{216}}$

429. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt[3]{a^{-2}};

б) $\sqrt[7]{3b};

в) $\sqrt[13]{b^{-7}};

г) $\sqrt[8]{4^5}.

Для того чтобы представить выражение в виде степени с рациональным показателем, используется следующее определение степени с рациональным показателем: для любого действительного числа $a > 0$ и любых натурального $n \geq 2$ и целого $m$ справедливо равенство:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Здесь $n$ — это показатель корня, а $m$ — это показатель степени подкоренного выражения.

а) $\sqrt[3]{a^{-2}}$

В данном выражении показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{a^{-2}} = a^{\frac{-2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{-\frac{2}{3}}$

б) $\sqrt[7]{3b}$

В этом выражении подкоренное выражение $3b$ находится в первой степени, то есть $(3b)^1$. Показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[7]{3b} = \sqrt[7]{(3b)^1} = (3b)^{\frac{1}{7}}$

Ответ: $(3b)^{\frac{1}{7}}$

в) $\sqrt[13]{b^{-7}}$

Здесь показатель корня $n=13$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-7$.

Используя ту же формулу, имеем:

$\sqrt[13]{b^{-7}} = b^{\frac{-7}{13}} = b^{-\frac{7}{13}}$

Ответ: $b^{-\frac{7}{13}}$

г) $\sqrt[8]{4^5}$

В данном случае показатель корня $n=8$, а показатель степени подкоренного выражения $m=5$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[8]{4^5} = 4^{\frac{5}{8}}$

Также можно упростить это выражение, представив основание $4$ как степень числа $2$: $4 = 2^2$.

$4^{\frac{5}{8}} = (2^2)^{\frac{5}{8}}$

По свойству степени $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$, получаем:

$(2^2)^{\frac{5}{8}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{8}} = 2^{\frac{10}{8}} = 2^{\frac{5}{4}}$

Оба ответа, $4^{\frac{5}{8}}$ и $2^{\frac{5}{4}}$, верны, но второй является более упрощенным.

Ответ: $2^{\frac{5}{4}}$

Найдите значение числового выражения (430–431).

430. а) $243^{0.4}$;

б) $\left(\frac{64^4}{3^8}\right)^{-\frac{1}{8}}$;

в) $16^{\frac{5}{4}}$;

г) $\left(\frac{27^3}{125^6}\right)^{\frac{2}{9}}$.

a) Чтобы найти значение выражения $243^{0,4}$, сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь выражение выглядит так: $243^{\frac{2}{5}}$.
Далее, представим основание 243 в виде степени. Заметим, что $243 = 3^5$, так как $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Подставим это в наше выражение: $(3^5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 3^2$.
Вычисляем результат: $3^2 = 9$.
Ответ: 9

б) Для вычисления $(\frac{64^4}{3^8})^{-\frac{1}{8}}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{64^4}{3^8})^{-\frac{1}{8}} = (\frac{3^8}{64^4})^{\frac{1}{8}}$.
Теперь применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$\frac{(3^8)^{\frac{1}{8}}}{(64^4)^{\frac{1}{8}}}$.
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:
В числителе: $3^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 3^1 = 3$.
В знаменателе: $64^{4 \cdot \frac{1}{8}} = 64^{\frac{4}{8}} = 64^{\frac{1}{2}}$.
Так как $64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$, получаем дробь $\frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

в) Чтобы найти значение выражения $16^{\frac{5}{4}}$, представим основание 16 в виде степени числа 2: $16 = 2^4$.
Подставим это в выражение: $(2^4)^{\frac{5}{4}}$.
По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем: $2^{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2^5$.
Вычисляем результат: $2^5 = 32$.
Ответ: 32

г) Для вычисления $(\frac{27^3}{125^6})^{\frac{2}{9}}$ сначала представим основания 27 и 125 в виде степеней: $27 = 3^3$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{(3^3)^3}{(5^3)^6})^{\frac{2}{9}} = (\frac{3^{3 \cdot 3}}{5^{3 \cdot 6}})^{\frac{2}{9}} = (\frac{3^9}{5^{18}})^{\frac{2}{9}}$.
Теперь возведем дробь в степень, применив показатель степени к числителю и знаменателю:
$\frac{(3^9)^{\frac{2}{9}}}{(5^{18})^{\frac{2}{9}}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$\frac{3^{9 \cdot \frac{2}{9}}}{5^{18 \cdot \frac{2}{9}}} = \frac{3^2}{5^4}$.
Вычисляем окончательный результат: $\frac{9}{625}$.
Ответ: $\frac{9}{625}$