Страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

431.— a) $8^{\frac{1}{2}} : (8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$; б) $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{5}{3}};

в) $8^{2 \frac{1}{3}} : 81^{0.75}$; г) $\left(1 \frac{11}{25}\right)^{-0.5} \cdot \left(4 \frac{17}{25}\right)^{-\frac{1}{3}}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.
$8^{\frac{1}{2}} : (8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) = \frac{8^{\frac{1}{2}}}{8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}} = \frac{8^{\frac{1}{2}}}{8^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = 8^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \cdot \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}$
Вычислим разность показателей степени у числа 8:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и упростим его:
$8^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \sqrt[3]{8} \cdot \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = 2 \cdot \frac{1}{3^3} = 2 \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{27}$
Ответ: $\frac{2}{27}$

б) Представим все множители в виде степеней с основаниями 2 и 5.
$\sqrt[3]{100} = 100^{\frac{1}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} = ((2 \cdot 5)^2)^{\frac{1}{3}} = (2^2 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$
$(\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{8}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}} = 2^{\frac{8}{6}} = 2^{\frac{4}{3}}$
$(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}} = (5^{-1})^{\frac{5}{3}} = 5^{-\frac{5}{3}}$
Теперь перемножим все полученные выражения, группируя степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{-\frac{5}{3}} = (2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}) \cdot (5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-\frac{5}{3}}) = 2^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3} - \frac{5}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 5^{-\frac{3}{3}} = 2^2 \cdot 5^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

в) Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в показателях степеней в неправильные дроби.
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$0,75 = \frac{3}{4}$
Исходное выражение примет вид:
$8^{\frac{7}{3}} : 81^{\frac{3}{4}}$
Представим основания степеней 8 и 81 в виде степеней простых чисел: $8 = 2^3$ и $81 = 3^4$.
$(2^3)^{\frac{7}{3}} : (3^4)^{\frac{3}{4}}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим выражение:
$2^{3 \cdot \frac{7}{3}} : 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^7 : 3^3 = 128 : 27 = \frac{128}{27}$
Ответ: $\frac{128}{27}$

г) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а десятичную дробь в обыкновенную.
$1 \frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$
$-0,5 = -\frac{1}{2}$
$4 \frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{36}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}}$
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{25}{36})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{27}{125})^{\frac{1}{3}}$
Теперь извлечем корни:
$\sqrt{\frac{25}{36}} \cdot \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} \cdot \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5}$
Перемножим дроби и сократим:
$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

Разложите на множители (432–433).

432. а) $(ax)^{\frac{1}{3}} + (ay)^{\frac{1}{3}};

б) $a - a^{\frac{1}{2}};

в) $3 + 3^{\frac{1}{2}};

г) $(3x)^{\frac{1}{2}} - (5x)^{\frac{1}{2}}.

а) Исходное выражение: $(ax)^{\frac{1}{3}} + (ay)^{\frac{1}{3}}$.

Для разложения на множители воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. Применим его к каждому слагаемому:

$(ax)^{\frac{1}{3}} + (ay)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

Теперь мы видим общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$, который можно вынести за скобки:

$a^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

б) Исходное выражение: $a - a^{\frac{1}{2}}$.

Для разложения на множители представим $a$ как степень с основанием $a^{\frac{1}{2}}$. Поскольку $a = a^1 = (a^{\frac{1}{2}})^2$, выражение можно переписать в виде:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}}$

Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)$

Выражение в скобках, $(a^{\frac{1}{2}} - 1)$, является разностью квадратов, так как $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^{\frac{1}{2}} - 1 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

в) Исходное выражение: $3 + 3^{\frac{1}{2}}$.

Представим число $3$ как $3^1 = (3^{\frac{1}{2}})^2$. Тогда выражение примет вид:

$(3^{\frac{1}{2}})^2 + 3^{\frac{1}{2}}$

Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} + 1)$

Ответ: $3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} + 1)$

г) Исходное выражение: $(3x)^{\frac{1}{2}} - (5x)^{\frac{1}{2}}$.

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для каждого члена выражения:

$(3x)^{\frac{1}{2}} - (5x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$x^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{2}})$

433. a) $x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} + 1;$

б) $c^2 + c^{\frac{1}{4}};$

в) $4 - 4^{\frac{1}{3}};$

г) $a + b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} + 1$, применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}) + (-y^{\frac{1}{3}} + 1)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$, а из второй вынесем $-1$, чтобы получить одинаковое выражение в скобках:

$x^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{1}{3}} - 1) - 1(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(y^{\frac{1}{3}} - 1)$, который можно вынести за скобку:

$(x^{\frac{1}{3}} - 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

Ответ: $(x^{\frac{1}{3}} - 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

б) В выражении $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}$ необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $c^{\frac{1}{4}}$. Для этого представим $c^{\frac{1}{2}}$ в виде $c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}}$ (поскольку $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$):

$c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}} \cdot 1$

Теперь выносим общий множитель $c^{\frac{1}{4}}$ за скобки:

$c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$

Ответ: $c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$

в) В выражении $4 - 4^{\frac{1}{3}}$ вынесем за скобки общий множитель. Сначала представим число $4$ как $4^1$. Наименьший показатель степени у основания $4$ это $\frac{1}{3}$.

Представим $4^1$ как $4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}$, так как по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, а $1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$.

$4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}$

Вынесем общий множитель $4^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$4^{\frac{1}{3}}(4^{\frac{2}{3}} - 1)$

Ответ: $4^{\frac{1}{3}}(4^{\frac{2}{3}} - 1)$

г) Для разложения на множители выражения $a + b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$ снова применим метод группировки. Для удобства сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и слагаемые, содержащие $b^{\frac{1}{2}}$:

$(a + a^{\frac{1}{2}}) + (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Учтем, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$. Вынесем из первой скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$, а из второй — $b^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 1) + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} + 1)$:

$(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Упростите выражения (434-435).

434. a) $\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{z-8}{z^{\frac{2}{3}}+2z^{\frac{1}{3}}+4}$;

в) $\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x-16}$;

г) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}$, представим числитель $a-b$ как разность квадратов. Заметим, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем: $a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$): $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

б)

Чтобы упростить выражение $\frac{z-8}{z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4}$, представим числитель $z-8$ как разность кубов. Заметим, что $z = (z^{\frac{1}{3}})^3$ и $8 = 2^3$.

Используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, получаем: $z-8 = (z^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3 = (z^{\frac{1}{3}} - 2)((z^{\frac{1}{3}})^2 + z^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2^2) = (z^{\frac{1}{3}} - 2)(z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4)$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(z^{\frac{1}{3}} - 2)(z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4)}{z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4}$.

Сократим общий множитель $(z^{\frac{2}{3}} + 2z^{\frac{1}{3}} + 4)$ в числителе и знаменателе (этот множитель не равен нулю ни при каких действительных $z$): $z^{\frac{1}{3}} - 2$.

Ответ: $z^{\frac{1}{3}} - 2$.

в)

Чтобы упростить выражение $\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x-16}$, представим знаменатель $x-16$ как разность квадратов. Заметим, что $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $16 = 4^2$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $x-16 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)}$.

Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 16$): $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 4}$.

Ответ: $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 4}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$, представим числитель $a+b$ как сумму кубов. Заметим, что $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, получаем: $a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ в числителе и знаменателе (этот множитель не равен нулю, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно): $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

435.-

а) $\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{a-1}{a+a^{\frac{1}{2}}+1} : \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{3}{2}}-1} + 2a^{\frac{1}{2}}$;

В) $\left(\frac{1}{a+a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a-a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{a^3 - b^3}{a^2+ab+b^2}$;

г) $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$.

а) Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:$ \frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $
1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов:$ x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}) $.
2. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби:$ x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}) $.
3. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби:$ x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}) $.
4. Подставим разложенные выражения обратно в исходное:$ \frac{(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}})} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} $
5. Сократим общие множители $ (x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}) $ и $ (x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}) $:$ \frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{4}-\frac{2}{4}}y^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})x^{-\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} $.
6. Запишем результат в виде корней:$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})\frac{\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x}} = (\sqrt{x}-\sqrt{y})\sqrt[4]{\frac{y}{x}} $.
Ответ: $ (\sqrt{x}-\sqrt{y})\sqrt[4]{\frac{y}{x}} $.

б) Упростим выражение: $ \frac{a-1}{a+a^{\frac{1}{2}}+1} : \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{3}{2}}-1} + 2a^{\frac{1}{2}} $.
1. Введем замену $ u=a^{\frac{1}{2}} $. Тогда $ a=u^2 $ и $ a^{\frac{3}{2}}=u^3 $. Выражение примет вид:$ \frac{u^2-1}{u^2+u+1} : \frac{u+1}{u^3-1} + 2u $.
2. Сначала выполним деление. Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы разности квадратов и разности кубов: $ u^2-1=(u-1)(u+1) $ и $ u^3-1=(u-1)(u^2+u+1) $.$ \frac{(u-1)(u+1)}{u^2+u+1} : \frac{u+1}{(u-1)(u^2+u+1)} $.
3. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:$ \frac{(u-1)(u+1)}{u^2+u+1} \cdot \frac{(u-1)(u^2+u+1)}{u+1} $.
4. Сократим общие множители $ (u+1) $ и $ (u^2+u+1) $:$ (u-1)(u-1) = (u-1)^2 $.
5. Теперь выполним сложение:$ (u-1)^2 + 2u = (u^2 - 2u + 1) + 2u = u^2+1 $.
6. Вернемся к исходной переменной $ a $, подставив $ u=a^{\frac{1}{2}} $:$ u^2+1 = (a^{\frac{1}{2}})^2+1 = a+1 $.
Ответ: $ a+1 $.

в) Упростим выражение: $ \left( \frac{1}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} $.
1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю.Знаменатель первой дроби: $ a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}) $.Знаменатель второй дроби: $ a-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) $.Общий знаменатель: $ a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}}(a-b) $.
2. Сложим дроби:$ \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} + \frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} = \frac{2a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} = \frac{2}{a-b} $.
3. Теперь упростим вторую часть выражения:$ \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} $. Используя формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, получаем:$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b $.
4. Перемножим полученные результаты:$ \frac{2}{a-b} \cdot (a-b) = 2 $.
Ответ: $ 2 $.

г) Упростим выражение: $ \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}} $.
1. Введем замену $ u=\sqrt{x} $. Тогда $ x=u^2 $, $ x\sqrt{x}=u^3 $ и $ x^2=u^4 $. Выражение примет вид:$ \frac{u+1}{u^3+u^2+u} : \frac{1}{u^4-u} $.
2. Разложим на множители знаменатели:$ u^3+u^2+u = u(u^2+u+1) $.$ u^4-u = u(u^3-1) = u(u-1)(u^2+u+1) $ (используя формулу разности кубов).
3. Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:$ \frac{u+1}{u(u^2+u+1)} \cdot \frac{u(u-1)(u^2+u+1)}{1} $.
4. Сократим общие множители $ u $ и $ (u^2+u+1) $:$ (u+1)(u-1) $.
5. Используем формулу разности квадратов:$ (u+1)(u-1) = u^2-1 $.
6. Вернемся к исходной переменной $ x $, подставив $ u=\sqrt{x} $:$ u^2-1 = (\sqrt{x})^2-1 = x-1 $.
Ответ: $ x-1 $.

436. Сравните числа:

а) $\sqrt[7]{3^3}$ и $3^{\frac{19}{8}}$;

б) $0,4^{-2,7}$ и $\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{15}{7}}$;

в) $\sqrt[3]{6^5}$ и $6^{1,7}$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{3}}$ и $\sqrt[7]{\frac{1}{32}}$.

а) Сравним числа $\sqrt[7]{3^3}$ и $3^{\frac{19}{8}}$.

Для сравнения представим оба числа в виде степени с одинаковым основанием. В данном случае основание равно 3.

Первое число можно представить в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[7]{3^3} = 3^{\frac{3}{7}}$.

Второе число уже представлено в виде степени: $3^{\frac{19}{8}}$.

Теперь нам нужно сравнить показатели степеней: $\frac{3}{7}$ и $\frac{19}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 8 - это их произведение, $7 \cdot 8 = 56$.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{24}{56}$

$\frac{19}{8} = \frac{19 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{133}{56}$

Сравниваем полученные дроби: так как $24 < 133$, то $\frac{24}{56} < \frac{133}{56}$. Отсюда следует, что $\frac{3}{7} < \frac{19}{8}$.

Основание степени равно 3, а $3 > 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $a > 1$ является возрастающей, то есть большему значению показателя соответствует большее значение степени.

Поскольку $\frac{3}{7} < \frac{19}{8}$, то и $3^{\frac{3}{7}} < 3^{\frac{19}{8}}$.

Ответ: $\sqrt[7]{3^3} < 3^{\frac{19}{8}}$.

б) Сравним числа $0,4^{-2,7}$ и $(\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

Приведем оба числа к одному основанию. Заметим, что $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Первое число: $0,4^{-2,7} = (\frac{2}{5})^{-2,7}$. Используя свойство степени $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$, получаем: $(\frac{2}{5})^{-2,7} = (\frac{5}{2})^{2,7}$.

Теперь сравним $(\frac{5}{2})^{2,7}$ и $(\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

Основание степени $\frac{5}{2} = 2,5 > 1$, значит, функция возрастающая. Сравним показатели степеней: $2,7$ и $\frac{15}{7}$.

Представим $2,7$ в виде обыкновенной дроби: $2,7 = \frac{27}{10}$.

Теперь сравним дроби $\frac{27}{10}$ и $\frac{15}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $70$.

$\frac{27}{10} = \frac{27 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{189}{70}$

$\frac{15}{7} = \frac{15 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{150}{70}$

Так как $189 > 150$, то $\frac{189}{70} > \frac{150}{70}$, следовательно, $2,7 > \frac{15}{7}$.

Поскольку основание степени больше 1, большему показателю соответствует большее значение степени. Значит, $(\frac{5}{2})^{2,7} > (\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

Ответ: $0,4^{-2,7} > (\frac{5}{2})^{\frac{15}{7}}$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{6^5}$ и $6^{1,7}$.

Представим оба числа в виде степени с основанием 6.

Первое число: $\sqrt[3]{6^5} = 6^{\frac{5}{3}}$.

Второе число: $6^{1,7}$.

Основание степени $6 > 1$, поэтому нам нужно сравнить показатели степеней: $\frac{5}{3}$ и $1,7$.

Переведем дробь $\frac{5}{3}$ в десятичную: $\frac{5}{3} = 1,666... = 1,(6)$.

Сравниваем $1,(6)$ и $1,7$. Очевидно, что $1,(6) < 1,7$.

Можно также сравнить в дробях: $1,7 = \frac{17}{10}$. Сравниваем $\frac{5}{3}$ и $\frac{17}{10}$. Общий знаменатель 30.

$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{50}{30}$

$\frac{17}{10} = \frac{17 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{51}{30}$

Так как $50 < 51$, то $\frac{50}{30} < \frac{51}{30}$, значит $\frac{5}{3} < 1,7$.

Поскольку основание $6 > 1$, функция возрастающая, поэтому $6^{\frac{5}{3}} < 6^{1,7}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6^5} < 6^{1,7}$.

г) Сравним числа $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}}$ и $\sqrt[7]{\frac{1}{32}}$.

Приведем оба числа к одному основанию. Заметим, что $32 = 2^5$, поэтому $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$.

Второе число: $\sqrt[7]{\frac{1}{32}} = \sqrt[7]{(\frac{1}{2})^5} = ((\frac{1}{2})^5)^{\frac{1}{7}} = (\frac{1}{2})^{\frac{5}{7}}$.

Теперь сравним $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}}$ и $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{7}}$.

Основание степени $\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{2} < 1$. Показательная функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей, то есть большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.

Сравним показатели степеней: $\frac{5}{3}$ и $\frac{5}{7}$.

У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $3 < 7$, то $\frac{5}{3} > \frac{5}{7}$.

Поскольку функция убывающая, для показателей $\frac{5}{3} > \frac{5}{7}$ выполняется обратное неравенство для значений степеней: $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}} < (\frac{1}{2})^{\frac{5}{7}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}} < \sqrt[7]{\frac{1}{32}}$.

437.— Найдите значение выражения:

a) $81^{-0,75} + \left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{1}{3}} - \left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{3}{5}}$;

б) $0,001^{-\frac{1}{3}} - (-2)^{-2} 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-\frac{1}{3}} + (9^0)^2$;

в) $27^{\frac{2}{3}} + \left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75} - 25^{0,5}$;

г) $(-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - \left(2\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} + 19 (-3)^{-3}$.

а) $81^{-0,75} + (\frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} - (\frac{1}{32})^{-\frac{3}{5}}$
Для решения данного выражения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, предварительно преобразовав степени.
1. $81^{-0,75} = 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.
2. $(\frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} = (125)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$.
3. $(\frac{1}{32})^{-\frac{3}{5}} = (32)^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{27} + 5 - 8 = \frac{1}{27} - 3 = \frac{1 - 3 \cdot 27}{27} = \frac{1 - 81}{27} = -\frac{80}{27}$.
Ответ: $-\frac{80}{27}$.

б) $0,001^{-\frac{1}{3}} - (-2)^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}} + (9^0)^2$
Вычислим значение каждого члена выражения по порядку.
1. $0,001^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}} = (1000)^{\frac{1}{3}} = 10$.
2. $(-2)^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{(-2)^2} \cdot (\sqrt[3]{64})^2 = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
3. $8^{-1\frac{1}{3}} = 8^{-\frac{4}{3}} = (2^3)^{-\frac{4}{3}} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
4. $(9^0)^2 = 1^2 = 1$.
Теперь выполним арифметические действия с полученными результатами:
$10 - 4 - \frac{1}{16} + 1 = 6 - \frac{1}{16} + 1 = 7 - \frac{1}{16} = \frac{112}{16} - \frac{1}{16} = \frac{111}{16}$.
Ответ: $\frac{111}{16}$.

в) $27^{\frac{2}{3}} + (\frac{1}{16})^{-0,75} - 25^{0,5}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.
2. $(\frac{1}{16})^{-0,75} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.
3. $25^{0,5} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Подставим полученные значения в выражение:
$9 + 8 - 5 = 17 - 5 = 12$.
Ответ: $12$.

г) $(-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - (2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}} + 19(-3)^{-3}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. $(-0,5)^{-4} = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16$.
2. $625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$.
3. $(2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}} = (\frac{9}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{4}{9}})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.
4. $19(-3)^{-3} = 19 \cdot \frac{1}{(-3)^3} = 19 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{19}{27}$.
Подставим полученные значения и выполним действия:
$16 - 5 - \frac{8}{27} + (-\frac{19}{27}) = 11 - (\frac{8}{27} + \frac{19}{27}) = 11 - \frac{27}{27} = 11 - 1 = 10$.
Ответ: $10$.