Номер 435, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 435, страница 222.

Условие.

435.-

а) $\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{a-1}{a+a^{\frac{1}{2}}+1} : \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{3}{2}}-1} + 2a^{\frac{1}{2}}$;

В) $\left(\frac{1}{a+a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a-a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{a^3 - b^3}{a^2+ab+b^2}$;

г) $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:$ \frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $
1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов:$ x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}) $.
2. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби:$ x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}) $.
3. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби:$ x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}) $.
4. Подставим разложенные выражения обратно в исходное:$ \frac{(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}})} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} $
5. Сократим общие множители $ (x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}) $ и $ (x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}) $:$ \frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{4}-\frac{2}{4}}y^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})x^{-\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} $.
6. Запишем результат в виде корней:$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})\frac{\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x}} = (\sqrt{x}-\sqrt{y})\sqrt[4]{\frac{y}{x}} $.
Ответ: $ (\sqrt{x}-\sqrt{y})\sqrt[4]{\frac{y}{x}} $.

б) Упростим выражение: $ \frac{a-1}{a+a^{\frac{1}{2}}+1} : \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{3}{2}}-1} + 2a^{\frac{1}{2}} $.
1. Введем замену $ u=a^{\frac{1}{2}} $. Тогда $ a=u^2 $ и $ a^{\frac{3}{2}}=u^3 $. Выражение примет вид:$ \frac{u^2-1}{u^2+u+1} : \frac{u+1}{u^3-1} + 2u $.
2. Сначала выполним деление. Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы разности квадратов и разности кубов: $ u^2-1=(u-1)(u+1) $ и $ u^3-1=(u-1)(u^2+u+1) $.$ \frac{(u-1)(u+1)}{u^2+u+1} : \frac{u+1}{(u-1)(u^2+u+1)} $.
3. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:$ \frac{(u-1)(u+1)}{u^2+u+1} \cdot \frac{(u-1)(u^2+u+1)}{u+1} $.
4. Сократим общие множители $ (u+1) $ и $ (u^2+u+1) $:$ (u-1)(u-1) = (u-1)^2 $.
5. Теперь выполним сложение:$ (u-1)^2 + 2u = (u^2 - 2u + 1) + 2u = u^2+1 $.
6. Вернемся к исходной переменной $ a $, подставив $ u=a^{\frac{1}{2}} $:$ u^2+1 = (a^{\frac{1}{2}})^2+1 = a+1 $.
Ответ: $ a+1 $.

в) Упростим выражение: $ \left( \frac{1}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} $.
1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю.Знаменатель первой дроби: $ a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}) $.Знаменатель второй дроби: $ a-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) $.Общий знаменатель: $ a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}}(a-b) $.
2. Сложим дроби:$ \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} + \frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} = \frac{2a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a-b)} = \frac{2}{a-b} $.
3. Теперь упростим вторую часть выражения:$ \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} $. Используя формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, получаем:$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b $.
4. Перемножим полученные результаты:$ \frac{2}{a-b} \cdot (a-b) = 2 $.
Ответ: $ 2 $.

г) Упростим выражение: $ \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}} $.
1. Введем замену $ u=\sqrt{x} $. Тогда $ x=u^2 $, $ x\sqrt{x}=u^3 $ и $ x^2=u^4 $. Выражение примет вид:$ \frac{u+1}{u^3+u^2+u} : \frac{1}{u^4-u} $.
2. Разложим на множители знаменатели:$ u^3+u^2+u = u(u^2+u+1) $.$ u^4-u = u(u^3-1) = u(u-1)(u^2+u+1) $ (используя формулу разности кубов).
3. Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:$ \frac{u+1}{u(u^2+u+1)} \cdot \frac{u(u-1)(u^2+u+1)}{1} $.
4. Сократим общие множители $ u $ и $ (u^2+u+1) $:$ (u+1)(u-1) $.
5. Используем формулу разности квадратов:$ (u+1)(u-1) = u^2-1 $.
6. Вернемся к исходной переменной $ x $, подставив $ u=\sqrt{x} $:$ u^2-1 = (\sqrt{x})^2-1 = x-1 $.
Ответ: $ x-1 $.