Номер 442, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 442, страница 223.

Условие.

442. Имеет ли смысл выражение:

а) $(-3)^{-\frac{1}{7}}$;

б) $(-2)^{-4}$;

в) $5^{\frac{2}{3}}$;

г) $0^{-\frac{4}{7}}$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение со степенью, нужно проанализировать его основание и показатель. Выражение $a^{\frac{m}{n}}$ с отрицательным основанием $a < 0$ определено только в том случае, если знаменатель показателя $n$ — нечетное число.
В выражении $(-3)^{-\frac{1}{7}}$ основание $a = -3$ отрицательное. Показатель степени равен $-\frac{1}{7}$. Знаменатель показателя равен $7$. Так как $7$ — нечетное число, то выражение имеет смысл.
Преобразуем его по определению степени с рациональным показателем: $(-3)^{-\frac{1}{7}} = \frac{1}{(-3)^{\frac{1}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{-3}}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа является определенным действительным числом, и знаменатель не равен нулю. Следовательно, все выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

б) Выражение $(-2)^{-4}$ — это степень с отрицательным основанием и отрицательным целым показателем.
По определению степени с целым отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \ne 0$).
Применим это правило: $(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.
Результатом является определенное число, значит, выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

в) Выражение $5^{\frac{2}{3}}$ — это степень с положительным основанием и дробным показателем.
Степень с положительным основанием ($a > 0$) определена для любого действительного показателя.
Выражение можно записать в виде корня: $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.
Это определенное действительное число, поэтому выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

г) Выражение $0^{-\frac{4}{7}}$ — это степень с основанием, равным нулю, и отрицательным показателем.
По определению степени с отрицательным показателем: $0^{-\frac{4}{7}} = \frac{1}{0^{\frac{4}{7}}}$.
Знаменатель $0^{\frac{4}{7}}$ равен $\sqrt[7]{0^4} = \sqrt[7]{0} = 0$.
Таким образом, мы получаем выражение $\frac{1}{0}$. Деление на ноль в математике не определено.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: нет, не имеет смысла.