Номер 440, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 440, страница 223.

Условие.

440.- Представьте выражение в виде корня:

a) $3 \cdot 2^{-\frac{3}{5}}$;

б) $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{5}}$;

в) $2b^{-\frac{2}{3}}$;

г) $b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{2}{7}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $3 \cdot 2^{-\frac{3}{5}}$ в виде корня, воспользуемся свойствами степеней и корней. Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{5}}}$. Таким образом, выражение принимает вид: $3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{3}{5}}} = \frac{3}{2^{\frac{3}{5}}}$. Далее, представим степень с дробным показателем в виде корня, используя формулу $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$: $2^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{8}$. Выражение теперь выглядит как $\frac{3}{\sqrt[5]{8}}$. Чтобы записать все под одним знаком корня, представим число 3 как корень 5-й степени: $3 = \sqrt[5]{3^5} = \sqrt[5]{243}$. Тогда получим: $\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{243}{8}}$. Ответ: $\sqrt[5]{\frac{243}{8}}$.

б) Рассмотрим выражение $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{5}}$, которое можно записать в виде дроби $\frac{a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{2}{5}}}$. Преобразуем степени с дробными показателями в корни: $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$ и $b^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{b^2}$. Получаем дробь: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[5]{b^2}}$. Чтобы объединить эти корни в один, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 4 и 5 равно 20. Приводим корни к показателю 20: $\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4 \cdot 5]{a^{3 \cdot 5}} = \sqrt[20]{a^{15}}$ и $\sqrt[5]{b^2} = \sqrt[5 \cdot 4]{b^{2 \cdot 4}} = \sqrt[20]{b^8}$. Теперь разделим корни: $\frac{\sqrt[20]{a^{15}}}{\sqrt[20]{b^8}} = \sqrt[20]{\frac{a^{15}}{b^8}}$. Ответ: $\sqrt[20]{\frac{a^{15}}{b^8}}$.

в) Преобразуем выражение $2b^{-\frac{2}{3}}$. Степень с отрицательным показателем $b^{-\frac{2}{3}}$ равна $\frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}$, поэтому выражение становится равным $\frac{2}{b^{\frac{2}{3}}}$. Представим $b^{\frac{2}{3}}$ в виде корня: $b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$. Получаем $\frac{2}{\sqrt[3]{b^2}}$. Чтобы внести множитель 2 под знак кубического корня, возведем его в 3-ю степень: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$. В результате получаем: $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[3]{\frac{8}{b^2}}$. Ответ: $\sqrt[3]{\frac{8}{b^2}}$.

г) Рассмотрим выражение $b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{2}{7}}$. Представим каждую степень в виде корня: $b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b}$ и $c^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{c^2}$. Выражение принимает вид $\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[7]{c^2}$. Чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 7 равно 21. Приводим корни к показателю 21: $\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 7]{b^{1 \cdot 7}} = \sqrt[21]{b^7}$ и $\sqrt[7]{c^2} = \sqrt[7 \cdot 3]{c^{2 \cdot 3}} = \sqrt[21]{c^6}$. Теперь перемножим полученные корни: $\sqrt[21]{b^7} \cdot \sqrt[21]{c^6} = \sqrt[21]{b^7 c^6}$. Ответ: $\sqrt[21]{b^7 c^6}$.