Номер 437, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 437, страница 222.

Условие.

437.— Найдите значение выражения:

a) $81^{-0,75} + \left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{1}{3}} - \left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{3}{5}}$;

б) $0,001^{-\frac{1}{3}} - (-2)^{-2} 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-\frac{1}{3}} + (9^0)^2$;

в) $27^{\frac{2}{3}} + \left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75} - 25^{0,5}$;

г) $(-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - \left(2\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} + 19 (-3)^{-3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $81^{-0,75} + (\frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} - (\frac{1}{32})^{-\frac{3}{5}}$
Для решения данного выражения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, предварительно преобразовав степени.
1. $81^{-0,75} = 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.
2. $(\frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} = (125)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$.
3. $(\frac{1}{32})^{-\frac{3}{5}} = (32)^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{27} + 5 - 8 = \frac{1}{27} - 3 = \frac{1 - 3 \cdot 27}{27} = \frac{1 - 81}{27} = -\frac{80}{27}$.
Ответ: $-\frac{80}{27}$.

б) $0,001^{-\frac{1}{3}} - (-2)^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}} + (9^0)^2$
Вычислим значение каждого члена выражения по порядку.
1. $0,001^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}} = (1000)^{\frac{1}{3}} = 10$.
2. $(-2)^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{(-2)^2} \cdot (\sqrt[3]{64})^2 = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
3. $8^{-1\frac{1}{3}} = 8^{-\frac{4}{3}} = (2^3)^{-\frac{4}{3}} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
4. $(9^0)^2 = 1^2 = 1$.
Теперь выполним арифметические действия с полученными результатами:
$10 - 4 - \frac{1}{16} + 1 = 6 - \frac{1}{16} + 1 = 7 - \frac{1}{16} = \frac{112}{16} - \frac{1}{16} = \frac{111}{16}$.
Ответ: $\frac{111}{16}$.

в) $27^{\frac{2}{3}} + (\frac{1}{16})^{-0,75} - 25^{0,5}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.
2. $(\frac{1}{16})^{-0,75} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.
3. $25^{0,5} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Подставим полученные значения в выражение:
$9 + 8 - 5 = 17 - 5 = 12$.
Ответ: $12$.

г) $(-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - (2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}} + 19(-3)^{-3}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
1. $(-0,5)^{-4} = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16$.
2. $625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$.
3. $(2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}} = (\frac{9}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{4}{9}})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.
4. $19(-3)^{-3} = 19 \cdot \frac{1}{(-3)^3} = 19 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{19}{27}$.
Подставим полученные значения и выполним действия:
$16 - 5 - \frac{8}{27} + (-\frac{19}{27}) = 11 - (\frac{8}{27} + \frac{19}{27}) = 11 - \frac{27}{27} = 11 - 1 = 10$.
Ответ: $10$.