Номер 431, страница 222 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 431, страница 222.

Условие.

431.— a) $8^{\frac{1}{2}} : (8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$; б) $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{5}{3}};

в) $8^{2 \frac{1}{3}} : 81^{0.75}$; г) $\left(1 \frac{11}{25}\right)^{-0.5} \cdot \left(4 \frac{17}{25}\right)^{-\frac{1}{3}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.
$8^{\frac{1}{2}} : (8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) = \frac{8^{\frac{1}{2}}}{8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}} = \frac{8^{\frac{1}{2}}}{8^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = 8^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \cdot \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}$
Вычислим разность показателей степени у числа 8:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и упростим его:
$8^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \sqrt[3]{8} \cdot \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = 2 \cdot \frac{1}{3^3} = 2 \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{27}$
Ответ: $\frac{2}{27}$

б) Представим все множители в виде степеней с основаниями 2 и 5.
$\sqrt[3]{100} = 100^{\frac{1}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} = ((2 \cdot 5)^2)^{\frac{1}{3}} = (2^2 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$
$(\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{8}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}} = 2^{\frac{8}{6}} = 2^{\frac{4}{3}}$
$(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}} = (5^{-1})^{\frac{5}{3}} = 5^{-\frac{5}{3}}$
Теперь перемножим все полученные выражения, группируя степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{-\frac{5}{3}} = (2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}) \cdot (5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-\frac{5}{3}}) = 2^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3} - \frac{5}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 5^{-\frac{3}{3}} = 2^2 \cdot 5^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

в) Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в показателях степеней в неправильные дроби.
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$0,75 = \frac{3}{4}$
Исходное выражение примет вид:
$8^{\frac{7}{3}} : 81^{\frac{3}{4}}$
Представим основания степеней 8 и 81 в виде степеней простых чисел: $8 = 2^3$ и $81 = 3^4$.
$(2^3)^{\frac{7}{3}} : (3^4)^{\frac{3}{4}}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим выражение:
$2^{3 \cdot \frac{7}{3}} : 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^7 : 3^3 = 128 : 27 = \frac{128}{27}$
Ответ: $\frac{128}{27}$

г) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а десятичную дробь в обыкновенную.
$1 \frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$
$-0,5 = -\frac{1}{2}$
$4 \frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{36}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}}$
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{25}{36})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{27}{125})^{\frac{1}{3}}$
Теперь извлечем корни:
$\sqrt{\frac{25}{36}} \cdot \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} \cdot \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5}$
Перемножим дроби и сократим:
$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$