Номер 428, страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 428, страница 221.

Условие.

428. - Представьте в виде корня из числа выражение:

a) $3^{1.2}$;

б) $5^{-\frac{2}{3}}$;

в) $4^{1.25}$;

г) $6^{-\frac{1}{2}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $3^{1,2}$ в виде корня из числа, сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь:

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Таким образом, выражение можно записать как $3^{\frac{6}{5}}$.

Воспользуемся основным свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

В нашем случае основание $a=3$, числитель показателя $m=6$, а знаменатель $n=5$.

Подставляя эти значения, получаем:

$3^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{3^6}$

Теперь вычислим значение $3^6$:

$3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729$

Итак, итоговое выражение имеет вид:

Ответ: $\sqrt[5]{729}$

б) Чтобы представить выражение $5^{-\frac{2}{3}}$ в виде корня из числа, воспользуемся свойством степени с отрицательным рациональным показателем: $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ или $a^{-\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{-m}}$.

В данном случае $a=5$, $m=2$, $n=3$.

Используем второй вариант представления для получения корня из числа:

$5^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^{-2}}$

Теперь преобразуем степень с отрицательным показателем внутри корня:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Подставим это значение обратно в корень:

$ \sqrt[3]{\frac{1}{25}} $

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{1}{25}}$

в) Чтобы представить выражение $4^{1,25}$ в виде корня из числа, сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь:

$1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь выражение можно записать как $4^{\frac{5}{4}}$.

Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Здесь $a=4$, $m=5$, $n=4$.

$4^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{4^5}$

Вычислим значение $4^5$:

$4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$

Следовательно, итоговое выражение:

Ответ: $\sqrt[4]{1024}$

г) Чтобы представить выражение $6^{-1\frac{1}{2}}$ в виде корня из числа, сначала преобразуем смешанную степень в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$

Выражение принимает вид $6^{-\frac{3}{2}}$.

Воспользуемся свойством $a^{-\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{-m}}$.

В нашем случае $a=6$, $m=3$, $n=2$. Показатель корня $n=2$ для квадратного корня обычно не пишется.

$6^{-\frac{3}{2}} = \sqrt{6^{-3}}$

Преобразуем степень под корнем:

$6^{-3} = \frac{1}{6^3}$

Вычислим $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Таким образом, $6^{-3} = \frac{1}{216}$. Подставляем обратно в корень:

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{216}}$