Номер 422, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 422, страница 217.

Условие.

Решите уравнения (422–425).

422.—

a) $\sqrt{x+1}\sqrt{x+6}=6$

б) $\frac{x+1}{\sqrt{2x-1}}=\sqrt{x-1}$

в) $\frac{x+6}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{3x+2}$

г) $\sqrt{x}\sqrt{2-x}=2x$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \sqrt{x+1}\sqrt{x+6} = 6 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$x+6 \geq 0 \implies x \geq -6$
Пересечением этих условий является $x \geq -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.

Объединим корни в левой части уравнения:
$ \sqrt{(x+1)(x+6)} = 6 $
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$ (x+1)(x+6) = 6^2 $
$ x^2 + 6x + x + 6 = 36 $
$ x^2 + 7x + 6 - 36 = 0 $
$ x^2 + 7x - 30 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -30, а сумма равна -7. Это числа 3 и -10.
$ x_1 = 3 $, $ x_2 = -10 $.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ.
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x \geq -1$.
Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $x \geq -1$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $x=3$.

б) $ \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} = \sqrt{x-1} $

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным, а под корнем в правой части — неотрицательным.
$2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$
$x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
Правая часть уравнения $\sqrt{x-1}$ неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной. Так как знаменатель $\sqrt{2x-1}$ положителен, числитель должен быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Объединяя все условия ($x > 1/2$, $x \geq 1$, $x \geq -1$), получаем ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Умножим обе части на $\sqrt{2x-1}$:
$ x+1 = \sqrt{x-1}\sqrt{2x-1} $
$ x+1 = \sqrt{(x-1)(2x-1)} $
На ОДЗ ($x \ge 1$) левая часть $x+1$ положительна. Возведем обе части в квадрат:
$ (x+1)^2 = (x-1)(2x-1) $
$ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - x - 2x + 1 $
$ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 $
$ 2x^2 - x^2 - 3x - 2x = 0 $
$ x^2 - 5x = 0 $
$ x(x-5) = 0 $
Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \geq 1$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \geq 1$.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \geq 1$.
Ответ: $x=5$.

в) $ \frac{x+6}{\sqrt{x-2}} = \sqrt{3x+2} $

Найдем ОДЗ.
$x-2 > 0 \implies x > 2$
$3x+2 \geq 0 \implies 3x \geq -2 \implies x \geq -2/3$
Правая часть неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной. При $x>2$ знаменатель $\sqrt{x-2}$ положителен, числитель $x+6$ также положителен.
Итоговая ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Умножим обе части на $\sqrt{x-2}$:
$ x+6 = \sqrt{3x+2}\sqrt{x-2} $
$ x+6 = \sqrt{(3x+2)(x-2)} $
На ОДЗ ($x>2$) обе части уравнения положительны, можно возвести в квадрат:
$ (x+6)^2 = (3x+2)(x-2) $
$ x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 6x + 2x - 4 $
$ x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 4x - 4 $
$ 2x^2 - 16x - 40 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ x^2 - 8x - 20 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2 $
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 12}{2} $
$ x_1 = \frac{8+12}{2} = 10 $, $ x_2 = \frac{8-12}{2} = -2 $.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 2$).
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 2$.
Ответ: $x=10$.

г) $ \sqrt{x}\sqrt{2-x} = 2x $

Найдем ОДЗ.
$x \geq 0$
$2-x \geq 0 \implies x \leq 2$
ОДЗ: $x \in [0, 2]$.

Объединим корни в левой части:
$ \sqrt{x(2-x)} = 2x $
Проверим, является ли $x=0$ корнем: $\sqrt{0(2-0)} = 2 \cdot 0 \implies 0 = 0$. Да, $x=0$ является корнем.
На ОДЗ левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже входит в ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$ x(2-x) = (2x)^2 $
$ 2x - x^2 = 4x^2 $
$ 5x^2 - 2x = 0 $
$ x(5x-2) = 0 $
Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2/5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \in [0, 2]$).
Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ.
Корень $x_2 = 2/5 = 0.4$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $x=0; x=2/5$.