Номер 418, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 418, страница 216.
№418 (с. 216)
Условие. №418 (с. 216)
скриншот условия

418.-
a) $\sqrt{x+1} = x-5;$
б) $x+\sqrt{2x+3} = 6;$
в) $\sqrt{2x-1} = x-2;$
г) $3+\sqrt{3x+1} = x.$
Решение 1. №418 (с. 216)


Решение 3. №418 (с. 216)

Решение 4. №418 (с. 216)

Решение 5. №418 (с. 216)
а)
Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x+1} = x-5$.
Для решения найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной.
$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies x \in [5, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2$
$x+1 = x^2 - 10x + 25$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$
$x^2 - 11x + 24 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 24. Это числа 3 и 8.
$x_1 = 3$, $x_2 = 8$.
Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 5$).
Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \ge 5$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 5$.
Выполним проверку, подставив $x=8$ в исходное уравнение:
$\sqrt{8+1} = 8-5$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: 8
б)
Дано уравнение $x + \sqrt{2x+3} = 6$.
Для решения сначала изолируем радикал:
$\sqrt{2x+3} = 6-x$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -3 \\ x \le 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \le 6 \end{cases} \implies x \in [-1.5, 6]$.
Возведем обе части уравнения $\sqrt{2x+3} = 6-x$ в квадрат:
$(\sqrt{2x+3})^2 = (6-x)^2$
$2x+3 = 36 - 12x + x^2$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0$
$x^2 - 14x + 33 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение 33. Корни: 3 и 11.
$x_1 = 3$, $x_2 = 11$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1.5, 6]$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1.5 \le 3 \le 6$.
Корень $x_2 = 11$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $11 > 6$. Это посторонний корень.
Проверим найденный корень $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:
$3 + \sqrt{2(3)+3} = 6$
$3 + \sqrt{6+3} = 6$
$3 + \sqrt{9} = 6$
$3 + 3 = 6$
$6 = 6$
Равенство верное.
Ответ: 3
в)
Дано уравнение $\sqrt{2x-1} = x-2$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \in [2, +\infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$
$2x-1 = x^2 - 4x + 4$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение 5. Корни: 1 и 5.
$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 2$.
Проверим $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2(5)-1} = 5-2$
$\sqrt{10-1} = 3$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$
Равенство верное.
Ответ: 5
г)
Дано уравнение $3 + \sqrt{3x+1} = x$.
Изолируем радикал:
$\sqrt{3x+1} = x-3$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \in [3, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+1} = x-3$ в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = (x-3)^2$
$3x+1 = x^2 - 6x + 9$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 3x + 9 - 1 = 0$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение 8. Корни: 1 и 8.
$x_1 = 1$, $x_2 = 8$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 3$.
Проверим $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:
$3 + \sqrt{3(8)+1} = 8$
$3 + \sqrt{24+1} = 8$
$3 + \sqrt{25} = 8$
$3 + 5 = 8$
$8 = 8$
Равенство верное.
Ответ: 8
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 418 расположенного на странице 216 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №418 (с. 216), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.