Номер 418, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 418, страница 216.

Условие.

418.-

a) $\sqrt{x+1} = x-5;$

б) $x+\sqrt{2x+3} = 6;$

в) $\sqrt{2x-1} = x-2;$

г) $3+\sqrt{3x+1} = x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x+1} = x-5$.

Для решения найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies x \in [5, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2$

$x+1 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 24. Это числа 3 и 8.

$x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 5$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \ge 5$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 5$.

Выполним проверку, подставив $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{8+1} = 8-5$

$\sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 8

б)

Дано уравнение $x + \sqrt{2x+3} = 6$.

Для решения сначала изолируем радикал:

$\sqrt{2x+3} = 6-x$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -3 \\ x \le 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \le 6 \end{cases} \implies x \in [-1.5, 6]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{2x+3} = 6-x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x+3})^2 = (6-x)^2$

$2x+3 = 36 - 12x + x^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0$

$x^2 - 14x + 33 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение 33. Корни: 3 и 11.

$x_1 = 3$, $x_2 = 11$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1.5, 6]$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1.5 \le 3 \le 6$.

Корень $x_2 = 11$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $11 > 6$. Это посторонний корень.

Проверим найденный корень $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{2(3)+3} = 6$

$3 + \sqrt{6+3} = 6$

$3 + \sqrt{9} = 6$

$3 + 3 = 6$

$6 = 6$

Равенство верное.

Ответ: 3

в)

Дано уравнение $\sqrt{2x-1} = x-2$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \in [2, +\infty)$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$

$2x-1 = x^2 - 4x + 4$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение 5. Корни: 1 и 5.

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 2$.

Проверим $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(5)-1} = 5-2$

$\sqrt{10-1} = 3$

$\sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: 5

г)

Дано уравнение $3 + \sqrt{3x+1} = x$.

Изолируем радикал:

$\sqrt{3x+1} = x-3$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \in [3, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+1} = x-3$ в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (x-3)^2$

$3x+1 = x^2 - 6x + 9$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 6x - 3x + 9 - 1 = 0$

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение 8. Корни: 1 и 8.

$x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 3$.

Проверим $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{3(8)+1} = 8$

$3 + \sqrt{24+1} = 8$

$3 + \sqrt{25} = 8$

$3 + 5 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное.

Ответ: 8