Номер 419, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 419, страница 216.
№419 (с. 216)
Условие. №419 (с. 216)
скриншот условия

419. а) $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4};$
б) $\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3};$
в) $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3};$
г) $\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9}.$
Решение 1. №419 (с. 216)


Решение 3. №419 (с. 216)


Решение 4. №419 (с. 216)


Решение 5. №419 (с. 216)
а) Исходное уравнение: $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4}$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, и одно из них (любое, но лучше выбрать более простое) неотрицательно. Составим систему:
$\begin{cases} 2x+1 = x^2-2x+4, \\ 2x+1 \ge 0. \end{cases}$
Заметим, что второе подкоренное выражение $x^2-2x+4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, а старший коэффициент положителен.
Решим первое уравнение системы, которое является квадратным:
$x^2 - 2x - 2x + 4 - 1 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Таким образом, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы: $2x+1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -0.5$.
Для $x_1 = 1$: $1 \ge -0.5$. Условие выполняется.
Для $x_2 = 3$: $3 \ge -0.5$. Условие выполняется.
Оба корня подходят.
Ответ: $1, 3$.
б) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3}$.
Составим равносильную систему, выбрав для проверки на неотрицательность более простое выражение $x$:
$\begin{cases} x = x^2-x-3, \\ x \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - x - x - 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверим соответствие корней условию $x \ge 0$.
Для $x_1 = 3$: $3 \ge 0$. Условие выполняется.
Для $x_2 = -1$: $-1 \ge 0$. Условие не выполняется, поэтому $x=-1$ — посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $3$.
в) Исходное уравнение: $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3}$.
Составим равносильную систему:
$\begin{cases} x+2 = 2x-3, \\ 2x-3 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое, линейное уравнение:
$2+3 = 2x-x$
$x = 5$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=5$ условию $2x-3 \ge 0$.
$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$.
Так как $7 \ge 0$, условие выполняется. Корень $x=5$ является решением.
Ответ: $5$.
г) Исходное уравнение: $\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9}$.
Составим равносильную систему, выбрав для проверки более простое выражение $x+9$:
$\begin{cases} 9-x^2 = x+9, \\ x+9 \ge 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение системы:
$9 - x^2 - x - 9 = 0$
$-x^2 - x = 0$
$x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Проверим выполнение условия $x+9 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -9$.
Для $x_1 = 0$: $0 \ge -9$. Условие выполняется.
Для $x_2 = -1$: $-1 \ge -9$. Условие выполняется.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-1, 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 419 расположенного на странице 216 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №419 (с. 216), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.