Номер 419, страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 419, страница 216.

Условие.

419. а) $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4};$

б) $\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3};$

в) $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3};$

г) $\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4}$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, и одно из них (любое, но лучше выбрать более простое) неотрицательно. Составим систему:

$\begin{cases} 2x+1 = x^2-2x+4, \\ 2x+1 \ge 0. \end{cases}$

Заметим, что второе подкоренное выражение $x^2-2x+4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, а старший коэффициент положителен.

Решим первое уравнение системы, которое является квадратным:

$x^2 - 2x - 2x + 4 - 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Таким образом, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы: $2x+1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -0.5$.

Для $x_1 = 1$: $1 \ge -0.5$. Условие выполняется.

Для $x_2 = 3$: $3 \ge -0.5$. Условие выполняется.

Оба корня подходят.

Ответ: $1, 3$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3}$.

Составим равносильную систему, выбрав для проверки на неотрицательность более простое выражение $x$:

$\begin{cases} x = x^2-x-3, \\ x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - x - x - 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим соответствие корней условию $x \ge 0$.

Для $x_1 = 3$: $3 \ge 0$. Условие выполняется.

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge 0$. Условие не выполняется, поэтому $x=-1$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3}$.

Составим равносильную систему:

$\begin{cases} x+2 = 2x-3, \\ 2x-3 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое, линейное уравнение:

$2+3 = 2x-x$

$x = 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=5$ условию $2x-3 \ge 0$.

$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$.

Так как $7 \ge 0$, условие выполняется. Корень $x=5$ является решением.

Ответ: $5$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9}$.

Составим равносильную систему, выбрав для проверки более простое выражение $x+9$:

$\begin{cases} 9-x^2 = x+9, \\ x+9 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$9 - x^2 - x - 9 = 0$

$-x^2 - x = 0$

$x^2 + x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим выполнение условия $x+9 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -9$.

Для $x_1 = 0$: $0 \ge -9$. Условие выполняется.

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge -9$. Условие выполняется.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-1, 0$.