Номер 426, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 426, страница 217.

Условие.

Решите системы уравнений (426—427).

426. a) $$ \begin{cases} 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=5, \\ \sqrt{x}\sqrt{y}=3; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} \sqrt{6+x}-3\sqrt{3y+4}=-10, \\ 4\sqrt{3y+4}-5\sqrt{6+x}=6; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=10, \\ \sqrt{x}\sqrt{y}=8; \end{cases} $$

г) $$ \begin{cases} 2\sqrt{x-2}+\sqrt{5y+1}=8, \\ 3\sqrt{x-2}-2\sqrt{5y+1}=-2. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{x}\sqrt{y} = 3; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из второго уравнения $\sqrt{x}\sqrt{y} = 3$ следует, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $u > 0$ и $v > 0$.

Система уравнений в новых переменных выглядит так:

$ \begin{cases} 2u - v = 5, \\ uv = 3; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$ через $u$: $v = 2u - 5$.

Поскольку $v > 0$, должно выполняться неравенство $2u - 5 > 0$, то есть $u > 2.5$.

Подставим выражение для $v$ во второе уравнение системы:

$u(2u - 5) = 3$

$2u^2 - 5u - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $u$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$u_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$u_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $u_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $u > 0$. Корень $u_1 = 3$ удовлетворяет условию $u > 2.5$.

Итак, $u = 3$. Теперь найдем соответствующее значение $v$:

$v = 2u - 5 = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\sqrt{x} = u \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$

$\sqrt{y} = v \implies \sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Проверим найденное решение $(9; 1)$ в исходной системе:

$2\sqrt{9} - \sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$ (верно)

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{1} = 3 \cdot 1 = 3$ (верно)

Ответ: $(9; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{6+x} - 3\sqrt{3y+4} = -10, \\ 4\sqrt{3y+4} - 5\sqrt{6+x} = 6; \end{cases} $

ОДЗ: $6+x \ge 0 \implies x \ge -6$ и $3y+4 \ge 0 \implies y \ge -4/3$.

Введем новые переменные: $u = \sqrt{6+x}$ и $v = \sqrt{3y+4}$. Условия на новые переменные: $u \ge 0, v \ge 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} u - 3v = -10, \\ 4v - 5u = 6; \end{cases} $ или $ \begin{cases} u - 3v = -10, \\ -5u + 4v = 6; \end{cases} $

Это линейная система относительно $u$ и $v$. Из первого уравнения выразим $u$: $u = 3v - 10$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-5(3v - 10) + 4v = 6$

$-15v + 50 + 4v = 6$

$-11v = 6 - 50$

$-11v = -44$

$v = 4$

Найденное значение $v=4$ удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Теперь найдем $u$:

$u = 3v - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$.

Значение $u=2$ также удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\sqrt{6+x} = u = 2 \implies 6+x = 2^2 = 4 \implies x = -2$

$\sqrt{3y+4} = v = 4 \implies 3y+4 = 4^2 = 16 \implies 3y = 12 \implies y = 4$

Проверим, что найденные значения $x=-2$ и $y=4$ входят в ОДЗ: $x=-2 \ge -6$ (верно), $y=4 \ge -4/3$ (верно).

Ответ: $(-2; 4)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 10, \\ \sqrt{x}\sqrt{y} = 8; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Введем замену: $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u > 0, v > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u + 3v = 10, \\ uv = 8; \end{cases} $

Из первого уравнения: $u = 10 - 3v$. Так как $u>0$, то $10-3v>0$, откуда $v < 10/3$.

Подставим во второе уравнение:

$(10 - 3v)v = 8$

$10v - 3v^2 = 8$

$3v^2 - 10v + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$v_1 = \frac{10+2}{6} = 2$

$v_2 = \frac{10-2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба корня положительны и меньше $10/3$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $v = 2$.

Тогда $u = 10 - 3v = 10 - 3 \cdot 2 = 4$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{y} = v = 2 \implies y = 4$.

$\sqrt{x} = u = 4 \implies x = 16$.

Получили первое решение: $(16; 4)$.

Случай 2: $v = 4/3$.

Тогда $u = 10 - 3v = 10 - 3 \cdot (4/3) = 10 - 4 = 6$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{y} = v = 4/3 \implies y = (4/3)^2 = 16/9$.

$\sqrt{x} = u = 6 \implies x = 36$.

Получили второе решение: $(36; 16/9)$.

Ответ: $(16; 4)$, $(36; 16/9)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2\sqrt{x-2} + \sqrt{5y+1} = 8, \\ 3\sqrt{x-2} - 2\sqrt{5y+1} = -2; \end{cases} $

ОДЗ: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$ и $5y+1 \ge 0 \implies y \ge -1/5$.

Введем замену: $u = \sqrt{x-2}$ и $v = \sqrt{5y+1}$, где $u \ge 0, v \ge 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} 2u + v = 8, \\ 3u - 2v = -2; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 8 - 2u$.

Подставим во второе уравнение:

$3u - 2(8 - 2u) = -2$

$3u - 16 + 4u = -2$

$7u = 14$

$u = 2$

Найденное значение $u=2$ удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Теперь найдем $v$:

$v = 8 - 2u = 8 - 2 \cdot 2 = 4$.

Значение $v=4$ также удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{x-2} = u = 2 \implies x-2 = 4 \implies x = 6$

$\sqrt{5y+1} = v = 4 \implies 5y+1 = 16 \implies 5y = 15 \implies y = 3$

Проверим, что найденные значения $x=6$ и $y=3$ входят в ОДЗ: $x=6 \ge 2$ (верно), $y=3 \ge -1/5$ (верно).

Ответ: $(6; 3)$.