Номер 427, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 427, страница 217.
№427 (с. 217)
Условие. №427 (с. 217)
скриншот условия

427.-
a) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8, \\ x - y = 16; \end{cases} $
б) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} $
в) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 32; \end{cases} $
г) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27. \end{cases} $
Решение 1. №427 (с. 217)

Решение 3. №427 (с. 217)


Решение 4. №427 (с. 217)


Решение 5. №427 (с. 217)
а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ x - y = 16 \end{cases} $.
Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Второе уравнение $x - y = 16$ можно разложить как разность квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 16$, что равносильно $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 16$.
Из первого уравнения системы известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$. Подставим это значение во второе преобразованное уравнение:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 8 = 16$
Разделив обе части на 8, получим:
$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$
Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 8 + 2$
$2\sqrt{x} = 10$
$\sqrt{x} = 5$
Возведя обе части в квадрат, находим $x = 25$.
Подставим значение $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$:
$5 + \sqrt{y} = 8$
$\sqrt{y} = 3$
Возведя обе части в квадрат, находим $y = 9$.
Проверим найденное решение $(25; 9)$ в исходной системе:
$\sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$ (верно)
$25 - 9 = 16$ (верно)
Ответ: $(25; 9)$.
б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5 \\ xy = 216 \end{cases} $.
Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^3 b^3 = 216 \end{cases} $
Второе уравнение можно переписать как $(ab)^3 = 216$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $ab = \sqrt[3]{216} = 6$.
Теперь решаем систему для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 6 \end{cases} $
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Решим это уравнение, разложив на множители: $(t-2)(t-3) = 0$. Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Таким образом, возможны два случая:
1) $a = 2, b = 3$.
2) $a = 3, b = 2$.
Вернемся к исходным переменным:
В первом случае: $\sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8$; $\sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$. Получаем решение $(8; 27)$.
Во втором случае: $\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$; $\sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8$. Получаем решение $(27; 8)$.
Ответ: $(8; 27), (27; 8)$.
в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ x - y = 32 \end{cases} $.
Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 32$.
Из первого уравнения известно, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4$. Подставим это значение:
$4 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 32$
Разделив на 4, получаем:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$2\sqrt{x} = 12$
$\sqrt{x} = 6 \implies x = 36$.
Подставим $\sqrt{x}=6$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$:
$6 + \sqrt{y} = 8$
$\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$.
Проверим решение $(36; 4)$ в исходной системе:
$\sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 = 4$ (верно)
$36 - 4 = 32$ (верно)
Ответ: $(36; 4)$.
г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27 \end{cases} $.
Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3, y = b^3$.
Система преобразуется к виду:
$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a^3 b^3 = 27 \end{cases} $
Из второго уравнения $(ab)^3 = 27$ следует, что $ab = \sqrt[3]{27} = 3$.
Получаем систему для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a - b = 2 \\ ab = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.
Подставим это во второе уравнение:
$(b+2)b = 3$
$b^2 + 2b - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $a$:
Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 1 + 2 = 3$.
Если $b_2 = -3$, то $a_2 = -3 + 2 = -1$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:
1) Для пары $(a_1, b_1) = (3, 1)$:
$\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.
Получаем решение $(27; 1)$.
2) Для пары $(a_2, b_2) = (-1, -3)$:
$\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$.
$\sqrt[3]{y} = -3 \implies y = (-3)^3 = -27$.
Получаем решение $(-1; -27)$.
Ответ: $(27; 1), (-1; -27)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 427 расположенного на странице 217 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №427 (с. 217), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.