Номер 427, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 427, страница 217.

Условие.

427.-

a) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8, \\ x - y = 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 32; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ x - y = 16 \end{cases} $.

Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Второе уравнение $x - y = 16$ можно разложить как разность квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 16$, что равносильно $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 16$.

Из первого уравнения системы известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$. Подставим это значение во второе преобразованное уравнение:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 8 = 16$

Разделив обе части на 8, получим:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 8 + 2$

$2\sqrt{x} = 10$

$\sqrt{x} = 5$

Возведя обе части в квадрат, находим $x = 25$.

Подставим значение $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$:

$5 + \sqrt{y} = 8$

$\sqrt{y} = 3$

Возведя обе части в квадрат, находим $y = 9$.

Проверим найденное решение $(25; 9)$ в исходной системе:

$\sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$ (верно)

$25 - 9 = 16$ (верно)

Ответ: $(25; 9)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5 \\ xy = 216 \end{cases} $.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^3 b^3 = 216 \end{cases} $

Второе уравнение можно переписать как $(ab)^3 = 216$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $ab = \sqrt[3]{216} = 6$.

Теперь решаем систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 6 \end{cases} $

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение, разложив на множители: $(t-2)(t-3) = 0$. Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Таким образом, возможны два случая:

1) $a = 2, b = 3$.

2) $a = 3, b = 2$.

Вернемся к исходным переменным:

В первом случае: $\sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8$; $\sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$. Получаем решение $(8; 27)$.

Во втором случае: $\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$; $\sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8$. Получаем решение $(27; 8)$.

Ответ: $(8; 27), (27; 8)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ x - y = 32 \end{cases} $.

Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 32$.

Из первого уравнения известно, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4$. Подставим это значение:

$4 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 32$

Разделив на 4, получаем:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$

Теперь решаем систему:

$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$2\sqrt{x} = 12$

$\sqrt{x} = 6 \implies x = 36$.

Подставим $\sqrt{x}=6$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$:

$6 + \sqrt{y} = 8$

$\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$.

Проверим решение $(36; 4)$ в исходной системе:

$\sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 = 4$ (верно)

$36 - 4 = 32$ (верно)

Ответ: $(36; 4)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27 \end{cases} $.

Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3, y = b^3$.

Система преобразуется к виду:

$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a^3 b^3 = 27 \end{cases} $

Из второго уравнения $(ab)^3 = 27$ следует, что $ab = \sqrt[3]{27} = 3$.

Получаем систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a - b = 2 \\ ab = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.

Подставим это во второе уравнение:

$(b+2)b = 3$

$b^2 + 2b - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $a$:

Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $b_2 = -3$, то $a_2 = -3 + 2 = -1$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

1) Для пары $(a_1, b_1) = (3, 1)$:

$\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

$\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.

Получаем решение $(27; 1)$.

2) Для пары $(a_2, b_2) = (-1, -3)$:

$\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$.

$\sqrt[3]{y} = -3 \implies y = (-3)^3 = -27$.

Получаем решение $(-1; -27)$.

Ответ: $(27; 1), (-1; -27)$.