Номер 430, страница 221 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 430, страница 221.

Условие.

Найдите значение числового выражения (430–431).

430. а) $243^{0.4}$;

б) $\left(\frac{64^4}{3^8}\right)^{-\frac{1}{8}}$;

в) $16^{\frac{5}{4}}$;

г) $\left(\frac{27^3}{125^6}\right)^{\frac{2}{9}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Чтобы найти значение выражения $243^{0,4}$, сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь выражение выглядит так: $243^{\frac{2}{5}}$.
Далее, представим основание 243 в виде степени. Заметим, что $243 = 3^5$, так как $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Подставим это в наше выражение: $(3^5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 3^2$.
Вычисляем результат: $3^2 = 9$.
Ответ: 9

б) Для вычисления $(\frac{64^4}{3^8})^{-\frac{1}{8}}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{64^4}{3^8})^{-\frac{1}{8}} = (\frac{3^8}{64^4})^{\frac{1}{8}}$.
Теперь применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$\frac{(3^8)^{\frac{1}{8}}}{(64^4)^{\frac{1}{8}}}$.
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:
В числителе: $3^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 3^1 = 3$.
В знаменателе: $64^{4 \cdot \frac{1}{8}} = 64^{\frac{4}{8}} = 64^{\frac{1}{2}}$.
Так как $64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$, получаем дробь $\frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

в) Чтобы найти значение выражения $16^{\frac{5}{4}}$, представим основание 16 в виде степени числа 2: $16 = 2^4$.
Подставим это в выражение: $(2^4)^{\frac{5}{4}}$.
По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем: $2^{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2^5$.
Вычисляем результат: $2^5 = 32$.
Ответ: 32

г) Для вычисления $(\frac{27^3}{125^6})^{\frac{2}{9}}$ сначала представим основания 27 и 125 в виде степеней: $27 = 3^3$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{(3^3)^3}{(5^3)^6})^{\frac{2}{9}} = (\frac{3^{3 \cdot 3}}{5^{3 \cdot 6}})^{\frac{2}{9}} = (\frac{3^9}{5^{18}})^{\frac{2}{9}}$.
Теперь возведем дробь в степень, применив показатель степени к числителю и знаменателю:
$\frac{(3^9)^{\frac{2}{9}}}{(5^{18})^{\frac{2}{9}}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$\frac{3^{9 \cdot \frac{2}{9}}}{5^{18 \cdot \frac{2}{9}}} = \frac{3^2}{5^4}$.
Вычисляем окончательный результат: $\frac{9}{625}$.
Ответ: $\frac{9}{625}$