Номер 423, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 423, страница 217.
№423 (с. 217)
Условие. №423 (с. 217)
скриншот условия

423. a) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x} + 3} = 3;$
б) $\sqrt{x^2 - 16} + x = 2;$
в) $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x} + 10} = 4;$
г) $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}} = 1.$
Решение 1. №423 (с. 217)


Решение 3. №423 (с. 217)

Решение 4. №423 (с. 217)


Решение 5. №423 (с. 217)
а) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}} = 3$
Чтобы решить данное иррациональное уравнение, будем последовательно избавляться от корней путем возведения обеих частей уравнения в степень.
1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего квадратного корня:
$(\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}})^2 = 3^2$
$5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$
При возведении в квадрат необходимо убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно. $5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$, а $9 \ge 0$, так что это преобразование является равносильным.
2. Уединим кубический корень в левой части уравнения:
$\sqrt[3]{x+3} = 9 - 5$
$\sqrt[3]{x+3} = 4$
3. Возведем обе части полученного уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x+3})^3 = 4^3$
$x+3 = 64$
4. Найдем $x$:
$x = 64 - 3$
$x = 61$
5. Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5 + \sqrt[3]{61+3}} = \sqrt{5 + \sqrt[3]{64}} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$3 = 3$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $x = 61$.
б) $\sqrt{x^2 - 16} + x = 2$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2 - 16 \ge 0$
$(x-4)(x+4) \ge 0$
Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.
2. Уединим квадратный корень в левой части уравнения:
$\sqrt{x^2 - 16} = 2 - x$
3. Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:
$2 - x \ge 0$
$x \le 2$
4. Совместим это условие с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ и $(-\infty; 2]$. Пересечением является промежуток $x \in (-\infty; -4]$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен принадлежать этому промежутку.
5. Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 - 16} = 2 - x$ в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 16})^2 = (2 - x)^2$
$x^2 - 16 = 4 - 4x + x^2$
6. Решим полученное линейное уравнение:
$-16 = 4 - 4x$
$4x = 4 + 16$
$4x = 20$
$x = 5$
7. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=5$ условию $x \in (-\infty; -4]$.
$5$ не принадлежит промежутку $(-\infty; -4]$, следовательно, $x=5$ является посторонним корнем.
Ответ: нет корней.
в) $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}} = 4$
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}})^2 = 4^2$
$18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$
Поскольку $18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$, а $16 \ge 0$, условие неотрицательности подкоренного выражения выполнено.
2. Уединим кубический корень:
$18 - 16 = \sqrt[3]{x+10}$
$\sqrt[3]{x+10} = 2$
3. Возведем обе части в куб:
$(\sqrt[3]{x+10})^3 = 2^3$
$x+10 = 8$
4. Найдем $x$:
$x = 8 - 10$
$x = -2$
5. Выполним проверку:
$\sqrt{18 - \sqrt[3]{-2+10}} = \sqrt{18 - \sqrt[3]{8}} = \sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$
$4 = 4$
Равенство верное.
Ответ: $x = -2$.
г) $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}} = 1$
1. Найдем ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1) $x^2 - 5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$
2) $x - \sqrt{x^2 - 5} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{x^2 - 5}$
Для выполнения второго неравенства $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), так как он больше или равен корню. Совмещая с первым условием, получаем $x \ge \sqrt{5}$. Если $x \ge \sqrt{5}$, то обе части неравенства $x \ge \sqrt{x^2 - 5}$ неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: $x^2 \ge x^2 - 5$, что сводится к $0 \ge -5$. Это неравенство верно всегда. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge \sqrt{5}$.
2. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}})^2 = 1^2$
$x - \sqrt{x^2 - 5} = 1$
3. Уединим корень:
$x - 1 = \sqrt{x^2 - 5}$
4. Левая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие выполняется в рамках нашей ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$, так как $\sqrt{5} \approx 2.24 > 1$).
5. Возведем обе части в квадрат:
$(x - 1)^2 = (\sqrt{x^2 - 5})^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 5$
6. Решим линейное уравнение:
$-2x + 1 = -5$
$-2x = -6$
$x = 3$
7. Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$).
Так как $3^2=9$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $9>5$, следовательно $3 > \sqrt{5}$. Условие выполнено. Корень подходит.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3 - \sqrt{3^2 - 5}} = \sqrt{3 - \sqrt{9 - 5}} = \sqrt{3 - \sqrt{4}} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$
$1=1$
Равенство верное.
Ответ: $x = 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 423 расположенного на странице 217 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №423 (с. 217), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.