Номер 423, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 423, страница 217.

Условие.

423. a) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x} + 3} = 3;$

б) $\sqrt{x^2 - 16} + x = 2;$

в) $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x} + 10} = 4;$

г) $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}} = 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}} = 3$

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, будем последовательно избавляться от корней путем возведения обеих частей уравнения в степень.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего квадратного корня:

$(\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}})^2 = 3^2$

$5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$

При возведении в квадрат необходимо убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно. $5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$, а $9 \ge 0$, так что это преобразование является равносильным.

2. Уединим кубический корень в левой части уравнения:

$\sqrt[3]{x+3} = 9 - 5$

$\sqrt[3]{x+3} = 4$

3. Возведем обе части полученного уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x+3})^3 = 4^3$

$x+3 = 64$

4. Найдем $x$:

$x = 64 - 3$

$x = 61$

5. Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 + \sqrt[3]{61+3}} = \sqrt{5 + \sqrt[3]{64}} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 61$.

б) $\sqrt{x^2 - 16} + x = 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 16 \ge 0$

$(x-4)(x+4) \ge 0$

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

2. Уединим квадратный корень в левой части уравнения:

$\sqrt{x^2 - 16} = 2 - x$

3. Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

4. Совместим это условие с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ и $(-\infty; 2]$. Пересечением является промежуток $x \in (-\infty; -4]$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен принадлежать этому промежутку.

5. Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 - 16} = 2 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 16})^2 = (2 - x)^2$

$x^2 - 16 = 4 - 4x + x^2$

6. Решим полученное линейное уравнение:

$-16 = 4 - 4x$

$4x = 4 + 16$

$4x = 20$

$x = 5$

7. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=5$ условию $x \in (-\infty; -4]$.

$5$ не принадлежит промежутку $(-\infty; -4]$, следовательно, $x=5$ является посторонним корнем.

Ответ: нет корней.

в) $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}} = 4$

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}})^2 = 4^2$

$18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$

Поскольку $18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$, а $16 \ge 0$, условие неотрицательности подкоренного выражения выполнено.

2. Уединим кубический корень:

$18 - 16 = \sqrt[3]{x+10}$

$\sqrt[3]{x+10} = 2$

3. Возведем обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x+10})^3 = 2^3$

$x+10 = 8$

4. Найдем $x$:

$x = 8 - 10$

$x = -2$

5. Выполним проверку:

$\sqrt{18 - \sqrt[3]{-2+10}} = \sqrt{18 - \sqrt[3]{8}} = \sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное.

Ответ: $x = -2$.

г) $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}} = 1$

1. Найдем ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1) $x^2 - 5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$

2) $x - \sqrt{x^2 - 5} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{x^2 - 5}$

Для выполнения второго неравенства $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), так как он больше или равен корню. Совмещая с первым условием, получаем $x \ge \sqrt{5}$. Если $x \ge \sqrt{5}$, то обе части неравенства $x \ge \sqrt{x^2 - 5}$ неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: $x^2 \ge x^2 - 5$, что сводится к $0 \ge -5$. Это неравенство верно всегда. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge \sqrt{5}$.

2. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}})^2 = 1^2$

$x - \sqrt{x^2 - 5} = 1$

3. Уединим корень:

$x - 1 = \sqrt{x^2 - 5}$

4. Левая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие выполняется в рамках нашей ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$, так как $\sqrt{5} \approx 2.24 > 1$).

5. Возведем обе части в квадрат:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{x^2 - 5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 5$

6. Решим линейное уравнение:

$-2x + 1 = -5$

$-2x = -6$

$x = 3$

7. Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$).

Так как $3^2=9$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $9>5$, следовательно $3 > \sqrt{5}$. Условие выполнено. Корень подходит.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3 - \sqrt{3^2 - 5}} = \sqrt{3 - \sqrt{9 - 5}} = \sqrt{3 - \sqrt{4}} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$

$1=1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 3$.