Страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

421.— Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1, \\ 3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 2\sqrt{2}, \\ 2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[4]{y} = 8\sqrt{2}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 7, \\ 4\sqrt[4]{y} - 3\sqrt[4]{x} = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5}, \\ 5\sqrt{y} - 2\sqrt{x} = \sqrt{5}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1, \\3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 10;\end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{y}$. Тогда система примет вид:$\begin{cases} u + 2v = 1, \\3u - v = 10.\end{cases}$

Для решения этой системы методом сложения, умножим второе уравнение на 2:$\begin{cases} u + 2v = 1, \\6u - 2v = 20.\end{cases}$

Теперь сложим два уравнения:$(u + 2v) + (6u - 2v) = 1 + 20$

$7u = 21$

$u = 3$

Подставим найденное значение $u=3$ в первое уравнение $u + 2v = 1$:

$3 + 2v = 1$

$2v = 1 - 3$

$2v = -2$

$v = -1$

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$u = \sqrt[3]{x} \Rightarrow 3 = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = 3^3 = 27$

$v = \sqrt[3]{y} \Rightarrow -1 = \sqrt[3]{y} \Rightarrow y = (-1)^3 = -1$

Ответ: $(27, -1)$

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases} 4\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 2\sqrt{2}, \\2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[4]{y} = 8\sqrt{2};\end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Поскольку корень четной степени, должно выполняться условие $x \ge 0$ и $y \ge 0$, следовательно $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Система примет вид:$\begin{cases} 4u - v = 2\sqrt{2}, \\2u + 3v = 8\sqrt{2}.\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3:$\begin{cases} 12u - 3v = 6\sqrt{2}, \\2u + 3v = 8\sqrt{2}.\end{cases}$

Сложим уравнения:$(12u - 3v) + (2u + 3v) = 6\sqrt{2} + 8\sqrt{2}$

$14u = 14\sqrt{2}$

$u = \sqrt{2}$

Подставим $u = \sqrt{2}$ в первое уравнение $4u - v = 2\sqrt{2}$:

$4\sqrt{2} - v = 2\sqrt{2}$

$v = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Найденные значения $u=\sqrt{2}$ и $v=2\sqrt{2}$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$u = \sqrt[4]{x} \Rightarrow \sqrt{2} = \sqrt[4]{x} \Rightarrow x = (\sqrt{2})^4 = 4$

$v = \sqrt[4]{y} \Rightarrow 2\sqrt{2} = \sqrt[4]{y} \Rightarrow y = (2\sqrt{2})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{2})^4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: $(4, 64)$

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases} 2\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 7, \\4\sqrt[4]{y} - 3\sqrt[4]{x} = 6;\end{cases}$

Перепишем второе уравнение для удобства: $-3\sqrt[4]{x} + 4\sqrt[4]{y} = 6$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$. Система примет вид:$\begin{cases} 2u + v = 7, \\-3u + 4v = 6.\end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $v$:$v = 7 - 2u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$-3u + 4(7 - 2u) = 6$

$-3u + 28 - 8u = 6$

$-11u = -22$

$u = 2$

Теперь найдем $v$:$v = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$.

Найденные значения $u=2$ и $v=3$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$u = \sqrt[4]{x} \Rightarrow 2 = \sqrt[4]{x} \Rightarrow x = 2^4 = 16$

$v = \sqrt[4]{y} \Rightarrow 3 = \sqrt[4]{y} \Rightarrow y = 3^4 = 81$

Ответ: $(16, 81)$

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5}, \\5\sqrt{y} - 2\sqrt{x} = \sqrt{5}.\end{cases}$

Переставим слагаемые во втором уравнении: $-2\sqrt{x} + 5\sqrt{y} = \sqrt{5}$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$. Система примет вид:$\begin{cases} u + 3v = 5\sqrt{5}, \\-2u + 5v = \sqrt{5}.\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2:$\begin{cases} 2u + 6v = 10\sqrt{5}, \\-2u + 5v = \sqrt{5}.\end{cases}$

Сложим уравнения:$(2u + 6v) + (-2u + 5v) = 10\sqrt{5} + \sqrt{5}$

$11v = 11\sqrt{5}$

$v = \sqrt{5}$

Подставим $v = \sqrt{5}$ в первое уравнение $u + 3v = 5\sqrt{5}$:

$u + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$u = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Найденные значения $u=2\sqrt{5}$ и $v=\sqrt{5}$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$u = \sqrt{x} \Rightarrow 2\sqrt{5} = \sqrt{x} \Rightarrow x = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$v = \sqrt{y} \Rightarrow \sqrt{5} = \sqrt{y} \Rightarrow y = (\sqrt{5})^2 = 5$

Ответ: $(20, 5)$

Решите уравнения (422–425).

422.—

a) $\sqrt{x+1}\sqrt{x+6}=6$

б) $\frac{x+1}{\sqrt{2x-1}}=\sqrt{x-1}$

в) $\frac{x+6}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{3x+2}$

г) $\sqrt{x}\sqrt{2-x}=2x$

а) $ \sqrt{x+1}\sqrt{x+6} = 6 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$x+6 \geq 0 \implies x \geq -6$
Пересечением этих условий является $x \geq -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.

Объединим корни в левой части уравнения:
$ \sqrt{(x+1)(x+6)} = 6 $
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$ (x+1)(x+6) = 6^2 $
$ x^2 + 6x + x + 6 = 36 $
$ x^2 + 7x + 6 - 36 = 0 $
$ x^2 + 7x - 30 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -30, а сумма равна -7. Это числа 3 и -10.
$ x_1 = 3 $, $ x_2 = -10 $.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ.
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x \geq -1$.
Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $x \geq -1$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $x=3$.

б) $ \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} = \sqrt{x-1} $

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным, а под корнем в правой части — неотрицательным.
$2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$
$x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
Правая часть уравнения $\sqrt{x-1}$ неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной. Так как знаменатель $\sqrt{2x-1}$ положителен, числитель должен быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Объединяя все условия ($x > 1/2$, $x \geq 1$, $x \geq -1$), получаем ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Умножим обе части на $\sqrt{2x-1}$:
$ x+1 = \sqrt{x-1}\sqrt{2x-1} $
$ x+1 = \sqrt{(x-1)(2x-1)} $
На ОДЗ ($x \ge 1$) левая часть $x+1$ положительна. Возведем обе части в квадрат:
$ (x+1)^2 = (x-1)(2x-1) $
$ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - x - 2x + 1 $
$ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 $
$ 2x^2 - x^2 - 3x - 2x = 0 $
$ x^2 - 5x = 0 $
$ x(x-5) = 0 $
Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \geq 1$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \geq 1$.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \geq 1$.
Ответ: $x=5$.

в) $ \frac{x+6}{\sqrt{x-2}} = \sqrt{3x+2} $

Найдем ОДЗ.
$x-2 > 0 \implies x > 2$
$3x+2 \geq 0 \implies 3x \geq -2 \implies x \geq -2/3$
Правая часть неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной. При $x>2$ знаменатель $\sqrt{x-2}$ положителен, числитель $x+6$ также положителен.
Итоговая ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Умножим обе части на $\sqrt{x-2}$:
$ x+6 = \sqrt{3x+2}\sqrt{x-2} $
$ x+6 = \sqrt{(3x+2)(x-2)} $
На ОДЗ ($x>2$) обе части уравнения положительны, можно возвести в квадрат:
$ (x+6)^2 = (3x+2)(x-2) $
$ x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 6x + 2x - 4 $
$ x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 4x - 4 $
$ 2x^2 - 16x - 40 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ x^2 - 8x - 20 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2 $
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 12}{2} $
$ x_1 = \frac{8+12}{2} = 10 $, $ x_2 = \frac{8-12}{2} = -2 $.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 2$).
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 2$.
Ответ: $x=10$.

г) $ \sqrt{x}\sqrt{2-x} = 2x $

Найдем ОДЗ.
$x \geq 0$
$2-x \geq 0 \implies x \leq 2$
ОДЗ: $x \in [0, 2]$.

Объединим корни в левой части:
$ \sqrt{x(2-x)} = 2x $
Проверим, является ли $x=0$ корнем: $\sqrt{0(2-0)} = 2 \cdot 0 \implies 0 = 0$. Да, $x=0$ является корнем.
На ОДЗ левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже входит в ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$ x(2-x) = (2x)^2 $
$ 2x - x^2 = 4x^2 $
$ 5x^2 - 2x = 0 $
$ x(5x-2) = 0 $
Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2/5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \in [0, 2]$).
Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ.
Корень $x_2 = 2/5 = 0.4$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $x=0; x=2/5$.

423. a) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x} + 3} = 3;$

б) $\sqrt{x^2 - 16} + x = 2;$

в) $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x} + 10} = 4;$

г) $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}} = 1.$

а) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}} = 3$

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, будем последовательно избавляться от корней путем возведения обеих частей уравнения в степень.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего квадратного корня:

$(\sqrt{5 + \sqrt[3]{x+3}})^2 = 3^2$

$5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$

При возведении в квадрат необходимо убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно. $5 + \sqrt[3]{x+3} = 9$, а $9 \ge 0$, так что это преобразование является равносильным.

2. Уединим кубический корень в левой части уравнения:

$\sqrt[3]{x+3} = 9 - 5$

$\sqrt[3]{x+3} = 4$

3. Возведем обе части полученного уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x+3})^3 = 4^3$

$x+3 = 64$

4. Найдем $x$:

$x = 64 - 3$

$x = 61$

5. Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 + \sqrt[3]{61+3}} = \sqrt{5 + \sqrt[3]{64}} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 61$.

б) $\sqrt{x^2 - 16} + x = 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 16 \ge 0$

$(x-4)(x+4) \ge 0$

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

2. Уединим квадратный корень в левой части уравнения:

$\sqrt{x^2 - 16} = 2 - x$

3. Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

4. Совместим это условие с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ и $(-\infty; 2]$. Пересечением является промежуток $x \in (-\infty; -4]$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен принадлежать этому промежутку.

5. Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 - 16} = 2 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 16})^2 = (2 - x)^2$

$x^2 - 16 = 4 - 4x + x^2$

6. Решим полученное линейное уравнение:

$-16 = 4 - 4x$

$4x = 4 + 16$

$4x = 20$

$x = 5$

7. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=5$ условию $x \in (-\infty; -4]$.

$5$ не принадлежит промежутку $(-\infty; -4]$, следовательно, $x=5$ является посторонним корнем.

Ответ: нет корней.

в) $\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}} = 4$

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{18 - \sqrt[3]{x+10}})^2 = 4^2$

$18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$

Поскольку $18 - \sqrt[3]{x+10} = 16$, а $16 \ge 0$, условие неотрицательности подкоренного выражения выполнено.

2. Уединим кубический корень:

$18 - 16 = \sqrt[3]{x+10}$

$\sqrt[3]{x+10} = 2$

3. Возведем обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x+10})^3 = 2^3$

$x+10 = 8$

4. Найдем $x$:

$x = 8 - 10$

$x = -2$

5. Выполним проверку:

$\sqrt{18 - \sqrt[3]{-2+10}} = \sqrt{18 - \sqrt[3]{8}} = \sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное.

Ответ: $x = -2$.

г) $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}} = 1$

1. Найдем ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1) $x^2 - 5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$

2) $x - \sqrt{x^2 - 5} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{x^2 - 5}$

Для выполнения второго неравенства $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), так как он больше или равен корню. Совмещая с первым условием, получаем $x \ge \sqrt{5}$. Если $x \ge \sqrt{5}$, то обе части неравенства $x \ge \sqrt{x^2 - 5}$ неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: $x^2 \ge x^2 - 5$, что сводится к $0 \ge -5$. Это неравенство верно всегда. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge \sqrt{5}$.

2. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 5}})^2 = 1^2$

$x - \sqrt{x^2 - 5} = 1$

3. Уединим корень:

$x - 1 = \sqrt{x^2 - 5}$

4. Левая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие выполняется в рамках нашей ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$, так как $\sqrt{5} \approx 2.24 > 1$).

5. Возведем обе части в квадрат:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{x^2 - 5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 5$

6. Решим линейное уравнение:

$-2x + 1 = -5$

$-2x = -6$

$x = 3$

7. Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$).

Так как $3^2=9$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $9>5$, следовательно $3 > \sqrt{5}$. Условие выполнено. Корень подходит.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3 - \sqrt{3^2 - 5}} = \sqrt{3 - \sqrt{9 - 5}} = \sqrt{3 - \sqrt{4}} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$

$1=1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 3$.

424. a) $\sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x-4};$

б) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-6} = 2;$

в) $2 + \sqrt{10-x} = \sqrt{22-x};$

г) $\sqrt{1-2x-3} = \sqrt{16+x}.$

а) $\sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x-4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$
$x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$
Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как в ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.
$(\sqrt{x-3})^2 = (1 + \sqrt{x-4})^2$
$x-3 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-4} + (\sqrt{x-4})^2$
$x-3 = 1 + 2\sqrt{x-4} + x-4$
Упростим полученное выражение:
$x-3 = x-3 + 2\sqrt{x-4}$
$0 = 2\sqrt{x-4}$
$\sqrt{x-4} = 0$

Снова возведем обе части в квадрат:
$x-4=0$
$x=4$

Полученный корень $x=4$ принадлежит ОДЗ. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{4-3} = 1 + \sqrt{4-4}$
$\sqrt{1} = 1 + \sqrt{0}$
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $4$.

б) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-6} = 2$

Найдем ОДЗ:
$x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$
$x-6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 6$.

Чтобы упростить возведение в квадрат, уединим один из корней:
$\sqrt{x+2} = 2 + \sqrt{x-6}$
В области ОДЗ обе части этого уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+2})^2 = (2 + \sqrt{x-6})^2$
$x+2 = 4 + 4\sqrt{x-6} + x-6$
$x+2 = x-2 + 4\sqrt{x-6}$
$4 = 4\sqrt{x-6}$
$1 = \sqrt{x-6}$

Возведем в квадрат еще раз:
$1^2 = (\sqrt{x-6})^2$
$1 = x-6$
$x = 7$

Корень $x=7$ принадлежит ОДЗ ($7 \ge 6$). Проверка:
$\sqrt{7+2} - \sqrt{7-6} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1=2$
$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $7$.

в) $2 + \sqrt{10-x} = \sqrt{22-x}$

Найдем ОДЗ:
$10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$
$22-x \ge 0 \Rightarrow x \le 22$
Следовательно, ОДЗ: $x \le 10$.

В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(2 + \sqrt{10-x})^2 = (\sqrt{22-x})^2$
$4 + 4\sqrt{10-x} + 10-x = 22-x$
$14 - x + 4\sqrt{10-x} = 22-x$
$4\sqrt{10-x} = 22-14$
$4\sqrt{10-x} = 8$
$\sqrt{10-x} = 2$

Снова возведем в квадрат:
$(\sqrt{10-x})^2 = 2^2$
$10-x = 4$
$x=6$

Корень $x=6$ принадлежит ОДЗ ($6 \le 10$). Проверка:
Левая часть: $2 + \sqrt{10-6} = 2 + \sqrt{4} = 2+2=4$.
Правая часть: $\sqrt{22-6} = \sqrt{16} = 4$.
$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $6$.

г) $\sqrt{1-2x} - 3 = \sqrt{16+x}$

Найдем ОДЗ:
$1-2x \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 2x \Rightarrow x \le 0.5$
$16+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -16$
Общая ОДЗ: $-16 \le x \le 0.5$.

Поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{16+x}$) всегда неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:
$\sqrt{1-2x} - 3 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{1-2x} \ge 3$
Возведя обе части этого неравенства в квадрат, получим: $1-2x \ge 9 \Rightarrow -2x \ge 8 \Rightarrow x \le -4$.
С учетом ОДЗ, возможные решения должны лежать в промежутке $[-16, -4]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1-2x} - 3)^2 = (\sqrt{16+x})^2$
$(1-2x) - 6\sqrt{1-2x} + 9 = 16+x$
$10-2x - 6\sqrt{1-2x} = 16+x$
Уединим корень:
$-6\sqrt{1-2x} = 6+3x$
Разделим обе части на -3:
$2\sqrt{1-2x} = -2-x$

Перед следующим возведением в квадрат убедимся, что правая часть неотрицательна: $-2-x \ge 0 \Rightarrow x \le -2$. Это условие не сужает полученный ранее интервал для $x$. Возведем в квадрат:
$(2\sqrt{1-2x})^2 = (-2-x)^2$
$4(1-2x) = (x+2)^2$
$4-8x = x^2+4x+4$
$0 = x^2+12x$
$x(x+12)=0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=-12$.

Проверим найденные корни. Корень $x_1=0$ не удовлетворяет условию $x \le -4$, значит, он является посторонним. Корень $x_2=-12$ удовлетворяет условию $-16 \le -12 \le -4$. Выполним для него проверку:
Левая часть: $\sqrt{1-2(-12)} - 3 = \sqrt{1+24} - 3 = \sqrt{25}-3 = 5-3=2$.
Правая часть: $\sqrt{16+(-12)} = \sqrt{4} = 2$.
$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $-12$.

425.-

a) $\sqrt{x-3} - 6 = \sqrt[4]{x-3};$

б) $\sqrt[3]{x+1} + 2\sqrt[6]{x+1} = 3;$

в) $\sqrt[4]{x-5} = 30 - \sqrt{x-5};$

г) $3\sqrt[10]{x^2-3} + \sqrt[5]{x^2-3} = 4.$

а) $\sqrt{x-3} - 6 = \sqrt[4]{x-3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[4]{x-3}$. Поскольку корень четвертой степени из неотрицательного числа является неотрицательным, имеем $t \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x-3}$ можно выразить через $t$ как $(\sqrt[4]{x-3})^2 = t^2$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 6 = t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь нужно проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Этот корень является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя значение $t=3$:

$\sqrt[4]{x-3} = 3$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x-3})^4 = 3^4$

$x-3 = 81$

$x = 81 + 3$

$x = 84$

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 3$). Так как $84 \ge 3$, решение является верным.

Ответ: $84$.

б) $\sqrt[3]{x+1} + 2\sqrt[6]{x+1} = 3$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x+1}$. Так как корень четной степени, $t \ge 0$.

Тогда $\sqrt[3]{x+1} = (\sqrt[6]{x+1})^2 = t^2$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, произведение равно $-3$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -3$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 1$:

$\sqrt[6]{x+1} = 1$

Возведем обе части в шестую степень:

$x+1 = 1^6$

$x+1 = 1$

$x = 0$

Проверим корень по ОДЗ ($x \ge -1$). $0 \ge -1$, значит, корень подходит.

Ответ: $0$.

в) $\sqrt[4]{x-5} = 30 - \sqrt{x-5}$

Найдем ОДЗ: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Перенесем все члены с переменной в левую часть: $\sqrt[4]{x-5} + \sqrt{x-5} = 30$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$, тогда $t \ge 0$.

Соответственно, $\sqrt{x-5} = t^2$.

Подставим в уравнение:

$t + t^2 = 30$

$t^2 + t - 30 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 5$ подходит.

Корень $t_2 = -6$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 5$:

$\sqrt[4]{x-5} = 5$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x-5 = 5^4$

$x-5 = 625$

$x = 630$

Проверим корень по ОДЗ ($x \ge 5$). $630 \ge 5$, корень подходит.

Ответ: $630$.

г) $3\sqrt[10]{x^2-3} + \sqrt[5]{x^2-3} = 4$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем десятой степени должно быть неотрицательным: $x^2-3 \ge 0 \implies x^2 \ge 3$. Решением неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[10]{x^2-3}$, тогда $t \ge 0$.

Соответственно, $\sqrt[5]{x^2-3} = (\sqrt[10]{x^2-3})^2 = t^2$.

Подставим в уравнение:

$3t + t^2 = 4$

$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $-4$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -4$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 1$:

$\sqrt[10]{x^2-3} = 1$

Возведем обе части в десятую степень:

$x^2-3 = 1^{10}$

$x^2-3 = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Проверим корни по ОДЗ ($x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$). Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то:

$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge \sqrt{3}$.

$x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le -\sqrt{3}$.

Оба корня подходят.

Ответ: $\pm 2$.

Решите системы уравнений (426—427).

426. a) $$ \begin{cases} 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=5, \\ \sqrt{x}\sqrt{y}=3; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} \sqrt{6+x}-3\sqrt{3y+4}=-10, \\ 4\sqrt{3y+4}-5\sqrt{6+x}=6; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=10, \\ \sqrt{x}\sqrt{y}=8; \end{cases} $$

г) $$ \begin{cases} 2\sqrt{x-2}+\sqrt{5y+1}=8, \\ 3\sqrt{x-2}-2\sqrt{5y+1}=-2. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{x}\sqrt{y} = 3; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из второго уравнения $\sqrt{x}\sqrt{y} = 3$ следует, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $u > 0$ и $v > 0$.

Система уравнений в новых переменных выглядит так:

$ \begin{cases} 2u - v = 5, \\ uv = 3; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$ через $u$: $v = 2u - 5$.

Поскольку $v > 0$, должно выполняться неравенство $2u - 5 > 0$, то есть $u > 2.5$.

Подставим выражение для $v$ во второе уравнение системы:

$u(2u - 5) = 3$

$2u^2 - 5u - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $u$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$u_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$u_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $u_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $u > 0$. Корень $u_1 = 3$ удовлетворяет условию $u > 2.5$.

Итак, $u = 3$. Теперь найдем соответствующее значение $v$:

$v = 2u - 5 = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\sqrt{x} = u \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$

$\sqrt{y} = v \implies \sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Проверим найденное решение $(9; 1)$ в исходной системе:

$2\sqrt{9} - \sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$ (верно)

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{1} = 3 \cdot 1 = 3$ (верно)

Ответ: $(9; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{6+x} - 3\sqrt{3y+4} = -10, \\ 4\sqrt{3y+4} - 5\sqrt{6+x} = 6; \end{cases} $

ОДЗ: $6+x \ge 0 \implies x \ge -6$ и $3y+4 \ge 0 \implies y \ge -4/3$.

Введем новые переменные: $u = \sqrt{6+x}$ и $v = \sqrt{3y+4}$. Условия на новые переменные: $u \ge 0, v \ge 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} u - 3v = -10, \\ 4v - 5u = 6; \end{cases} $ или $ \begin{cases} u - 3v = -10, \\ -5u + 4v = 6; \end{cases} $

Это линейная система относительно $u$ и $v$. Из первого уравнения выразим $u$: $u = 3v - 10$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-5(3v - 10) + 4v = 6$

$-15v + 50 + 4v = 6$

$-11v = 6 - 50$

$-11v = -44$

$v = 4$

Найденное значение $v=4$ удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Теперь найдем $u$:

$u = 3v - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$.

Значение $u=2$ также удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\sqrt{6+x} = u = 2 \implies 6+x = 2^2 = 4 \implies x = -2$

$\sqrt{3y+4} = v = 4 \implies 3y+4 = 4^2 = 16 \implies 3y = 12 \implies y = 4$

Проверим, что найденные значения $x=-2$ и $y=4$ входят в ОДЗ: $x=-2 \ge -6$ (верно), $y=4 \ge -4/3$ (верно).

Ответ: $(-2; 4)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 10, \\ \sqrt{x}\sqrt{y} = 8; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Введем замену: $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u > 0, v > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u + 3v = 10, \\ uv = 8; \end{cases} $

Из первого уравнения: $u = 10 - 3v$. Так как $u>0$, то $10-3v>0$, откуда $v < 10/3$.

Подставим во второе уравнение:

$(10 - 3v)v = 8$

$10v - 3v^2 = 8$

$3v^2 - 10v + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$v_1 = \frac{10+2}{6} = 2$

$v_2 = \frac{10-2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба корня положительны и меньше $10/3$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $v = 2$.

Тогда $u = 10 - 3v = 10 - 3 \cdot 2 = 4$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{y} = v = 2 \implies y = 4$.

$\sqrt{x} = u = 4 \implies x = 16$.

Получили первое решение: $(16; 4)$.

Случай 2: $v = 4/3$.

Тогда $u = 10 - 3v = 10 - 3 \cdot (4/3) = 10 - 4 = 6$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{y} = v = 4/3 \implies y = (4/3)^2 = 16/9$.

$\sqrt{x} = u = 6 \implies x = 36$.

Получили второе решение: $(36; 16/9)$.

Ответ: $(16; 4)$, $(36; 16/9)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2\sqrt{x-2} + \sqrt{5y+1} = 8, \\ 3\sqrt{x-2} - 2\sqrt{5y+1} = -2; \end{cases} $

ОДЗ: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$ и $5y+1 \ge 0 \implies y \ge -1/5$.

Введем замену: $u = \sqrt{x-2}$ и $v = \sqrt{5y+1}$, где $u \ge 0, v \ge 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} 2u + v = 8, \\ 3u - 2v = -2; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 8 - 2u$.

Подставим во второе уравнение:

$3u - 2(8 - 2u) = -2$

$3u - 16 + 4u = -2$

$7u = 14$

$u = 2$

Найденное значение $u=2$ удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Теперь найдем $v$:

$v = 8 - 2u = 8 - 2 \cdot 2 = 4$.

Значение $v=4$ также удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{x-2} = u = 2 \implies x-2 = 4 \implies x = 6$

$\sqrt{5y+1} = v = 4 \implies 5y+1 = 16 \implies 5y = 15 \implies y = 3$

Проверим, что найденные значения $x=6$ и $y=3$ входят в ОДЗ: $x=6 \ge 2$ (верно), $y=3 \ge -1/5$ (верно).

Ответ: $(6; 3)$.

427.-

a) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8, \\ x - y = 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 32; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ x - y = 16 \end{cases} $.

Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Второе уравнение $x - y = 16$ можно разложить как разность квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 16$, что равносильно $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 16$.

Из первого уравнения системы известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$. Подставим это значение во второе преобразованное уравнение:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 8 = 16$

Разделив обе части на 8, получим:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 8 + 2$

$2\sqrt{x} = 10$

$\sqrt{x} = 5$

Возведя обе части в квадрат, находим $x = 25$.

Подставим значение $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$:

$5 + \sqrt{y} = 8$

$\sqrt{y} = 3$

Возведя обе части в квадрат, находим $y = 9$.

Проверим найденное решение $(25; 9)$ в исходной системе:

$\sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$ (верно)

$25 - 9 = 16$ (верно)

Ответ: $(25; 9)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5 \\ xy = 216 \end{cases} $.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^3 b^3 = 216 \end{cases} $

Второе уравнение можно переписать как $(ab)^3 = 216$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $ab = \sqrt[3]{216} = 6$.

Теперь решаем систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 6 \end{cases} $

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение, разложив на множители: $(t-2)(t-3) = 0$. Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Таким образом, возможны два случая:

1) $a = 2, b = 3$.

2) $a = 3, b = 2$.

Вернемся к исходным переменным:

В первом случае: $\sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8$; $\sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$. Получаем решение $(8; 27)$.

Во втором случае: $\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$; $\sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8$. Получаем решение $(27; 8)$.

Ответ: $(8; 27), (27; 8)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ x - y = 32 \end{cases} $.

Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 32$.

Из первого уравнения известно, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4$. Подставим это значение:

$4 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 32$

Разделив на 4, получаем:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$

Теперь решаем систему:

$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$2\sqrt{x} = 12$

$\sqrt{x} = 6 \implies x = 36$.

Подставим $\sqrt{x}=6$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$:

$6 + \sqrt{y} = 8$

$\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$.

Проверим решение $(36; 4)$ в исходной системе:

$\sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 = 4$ (верно)

$36 - 4 = 32$ (верно)

Ответ: $(36; 4)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27 \end{cases} $.

Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3, y = b^3$.

Система преобразуется к виду:

$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a^3 b^3 = 27 \end{cases} $

Из второго уравнения $(ab)^3 = 27$ следует, что $ab = \sqrt[3]{27} = 3$.

Получаем систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a - b = 2 \\ ab = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.

Подставим это во второе уравнение:

$(b+2)b = 3$

$b^2 + 2b - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $a$:

Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $b_2 = -3$, то $a_2 = -3 + 2 = -1$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

1) Для пары $(a_1, b_1) = (3, 1)$:

$\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

$\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.

Получаем решение $(27; 1)$.

2) Для пары $(a_2, b_2) = (-1, -3)$:

$\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$.

$\sqrt[3]{y} = -3 \implies y = (-3)^3 = -27$.

Получаем решение $(-1; -27)$.

Ответ: $(27; 1), (-1; -27)$.