Номер 421, страница 217 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 421, страница 217.

Условие.

421.— Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1, \\ 3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 2\sqrt{2}, \\ 2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[4]{y} = 8\sqrt{2}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 7, \\ 4\sqrt[4]{y} - 3\sqrt[4]{x} = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5}, \\ 5\sqrt{y} - 2\sqrt{x} = \sqrt{5}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1, \\3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 10;\end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{y}$. Тогда система примет вид:$\begin{cases} u + 2v = 1, \\3u - v = 10.\end{cases}$

Для решения этой системы методом сложения, умножим второе уравнение на 2:$\begin{cases} u + 2v = 1, \\6u - 2v = 20.\end{cases}$

Теперь сложим два уравнения:$(u + 2v) + (6u - 2v) = 1 + 20$

$7u = 21$

$u = 3$

Подставим найденное значение $u=3$ в первое уравнение $u + 2v = 1$:

$3 + 2v = 1$

$2v = 1 - 3$

$2v = -2$

$v = -1$

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$u = \sqrt[3]{x} \Rightarrow 3 = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = 3^3 = 27$

$v = \sqrt[3]{y} \Rightarrow -1 = \sqrt[3]{y} \Rightarrow y = (-1)^3 = -1$

Ответ: $(27, -1)$

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases} 4\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 2\sqrt{2}, \\2\sqrt[4]{x} + 3\sqrt[4]{y} = 8\sqrt{2};\end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Поскольку корень четной степени, должно выполняться условие $x \ge 0$ и $y \ge 0$, следовательно $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Система примет вид:$\begin{cases} 4u - v = 2\sqrt{2}, \\2u + 3v = 8\sqrt{2}.\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3:$\begin{cases} 12u - 3v = 6\sqrt{2}, \\2u + 3v = 8\sqrt{2}.\end{cases}$

Сложим уравнения:$(12u - 3v) + (2u + 3v) = 6\sqrt{2} + 8\sqrt{2}$

$14u = 14\sqrt{2}$

$u = \sqrt{2}$

Подставим $u = \sqrt{2}$ в первое уравнение $4u - v = 2\sqrt{2}$:

$4\sqrt{2} - v = 2\sqrt{2}$

$v = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Найденные значения $u=\sqrt{2}$ и $v=2\sqrt{2}$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$u = \sqrt[4]{x} \Rightarrow \sqrt{2} = \sqrt[4]{x} \Rightarrow x = (\sqrt{2})^4 = 4$

$v = \sqrt[4]{y} \Rightarrow 2\sqrt{2} = \sqrt[4]{y} \Rightarrow y = (2\sqrt{2})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{2})^4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: $(4, 64)$

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases} 2\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 7, \\4\sqrt[4]{y} - 3\sqrt[4]{x} = 6;\end{cases}$

Перепишем второе уравнение для удобства: $-3\sqrt[4]{x} + 4\sqrt[4]{y} = 6$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$. Система примет вид:$\begin{cases} 2u + v = 7, \\-3u + 4v = 6.\end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $v$:$v = 7 - 2u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$-3u + 4(7 - 2u) = 6$

$-3u + 28 - 8u = 6$

$-11u = -22$

$u = 2$

Теперь найдем $v$:$v = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$.

Найденные значения $u=2$ и $v=3$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$u = \sqrt[4]{x} \Rightarrow 2 = \sqrt[4]{x} \Rightarrow x = 2^4 = 16$

$v = \sqrt[4]{y} \Rightarrow 3 = \sqrt[4]{y} \Rightarrow y = 3^4 = 81$

Ответ: $(16, 81)$

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 5\sqrt{5}, \\5\sqrt{y} - 2\sqrt{x} = \sqrt{5}.\end{cases}$

Переставим слагаемые во втором уравнении: $-2\sqrt{x} + 5\sqrt{y} = \sqrt{5}$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$. Система примет вид:$\begin{cases} u + 3v = 5\sqrt{5}, \\-2u + 5v = \sqrt{5}.\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2:$\begin{cases} 2u + 6v = 10\sqrt{5}, \\-2u + 5v = \sqrt{5}.\end{cases}$

Сложим уравнения:$(2u + 6v) + (-2u + 5v) = 10\sqrt{5} + \sqrt{5}$

$11v = 11\sqrt{5}$

$v = \sqrt{5}$

Подставим $v = \sqrt{5}$ в первое уравнение $u + 3v = 5\sqrt{5}$:

$u + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$u = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Найденные значения $u=2\sqrt{5}$ и $v=\sqrt{5}$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$u = \sqrt{x} \Rightarrow 2\sqrt{5} = \sqrt{x} \Rightarrow x = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$v = \sqrt{y} \Rightarrow \sqrt{5} = \sqrt{y} \Rightarrow y = (\sqrt{5})^2 = 5$

Ответ: $(20, 5)$