Номер 416, страница 214 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 416, страница 214.

Условие.

416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала:

a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}};

б) $\frac{2}{a - \sqrt[3]{b}};

в) $\frac{2}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7}};

г) $\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}$, воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
В нашем случае $x = \sqrt[3]{2}$ и $y = \sqrt[3]{3}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, которым является неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$.
$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})}{(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{2-3} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{-1} = -(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$.
Ответ: $-(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$.

б) Для выражения $\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}}$ применим ту же формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a$ и $y = \sqrt[3]{b}$.
Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $a^2 + a\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$.
$\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}} = \frac{2 \cdot (a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{(a-\sqrt[3]{b})(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{2(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a^3 - (\sqrt[3]{b})^3} = \frac{2(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a^3 - b}$.
Ответ: $\frac{2(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a^3 - b}$.

в) В знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}$ находится сумма, поэтому воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Здесь $x = \sqrt[3]{5}$ и $y = \sqrt[3]{7}$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49}$.
$\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}} = \frac{2 \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})} = \frac{2(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{7})^3} = \frac{2(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{5+7} = \frac{2(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{12} = \frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49}}{6}$.

г) Знаменатель дроби $\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$ представляет собой неполный квадрат разности $(\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2$. Это является одним из множителей в формуле суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Чтобы получить в знаменателе выражение без радикала, необходимо умножить числитель и знаменатель на недостающий множитель, которым является $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})$.
$\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}} = \frac{3a \cdot (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{3a(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3} = \frac{3a(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{a+b}$.
Ответ: $\frac{3a(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{a+b}$.