Номер 410, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 410, страница 213.
№410 (с. 213)
Условие. №410 (с. 213)
скриншот условия

410.— Решите уравнение с помощью подстановки $t = \sqrt[4]{x}$ или $t = \sqrt[6]{x}$:
а) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0;$
б) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = 2;$
в) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0;$
г) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} = 6.$
Решение 1. №410 (с. 213)


Решение 3. №410 (с. 213)

Решение 4. №410 (с. 213)

Решение 5. №410 (с. 213)
а) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как корень четной степени ($\sqrt[6]{x}$) определен только для неотрицательных чисел.
Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$. Заметим, что по определению арифметического корня, $t \ge 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3.
$t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Оба значения $t$ неотрицательны, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.
Теперь выполним обратную замену:
- Если $t = 2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в шестую степень: $x = 2^6 = 64$.
- Если $t = 3$, то $\sqrt[6]{x} = 3$. Аналогично, возводим в шестую степень: $x = 3^6 = 729$.
Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $x_1 = 64, x_2 = 729$.
б) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = 2$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Так как $t$ является значением арифметического корня, $t \ge 0$.
Подставляем $t$ в уравнение:
$t^2 + t = 2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно -2, а их сумма -1. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Остается только $t_1 = 1$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt[4]{x} = 1$
Возводим обе части в четвертую степень:
$x = 1^4 = 1$.
Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 1$.
в) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Используем замену $t = \sqrt[4]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно 2, а сумма 3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Оба корня неотрицательны, поэтому оба подходят.
Выполняем обратную замену:
- Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x} = 1$. Возводим в четвертую степень: $x = 1^4 = 1$.
- Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возводим в четвертую степень: $x = 2^4 = 16$.
Оба значения (1 и 16) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 16$.
г) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} = 6$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$.
Подставляем в уравнение:
$t^2 - 5t = 6$
Приведем к стандартному виду:
$t^2 - 5t - 6 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма 5. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.
Так как должно выполняться условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = 6$.
Выполняем обратную замену:
$\sqrt[6]{x} = 6$
Возводим обе части в шестую степень:
$x = 6^6 = 46656$.
Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 46656$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 410 расположенного на странице 213 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №410 (с. 213), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.