Номер 410, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 410, страница 213.

Условие.

410.— Решите уравнение с помощью подстановки $t = \sqrt[4]{x}$ или $t = \sqrt[6]{x}$:

а) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0;$

б) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = 2;$

в) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0;$

г) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} = 6.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как корень четной степени ($\sqrt[6]{x}$) определен только для неотрицательных чисел.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$. Заметим, что по определению арифметического корня, $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3.

$t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Оба значения $t$ неотрицательны, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в шестую степень: $x = 2^6 = 64$.
2. Если $t = 3$, то $\sqrt[6]{x} = 3$. Аналогично, возводим в шестую степень: $x = 3^6 = 729$.

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x_1 = 64, x_2 = 729$.

б) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = 2$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Так как $t$ является значением арифметического корня, $t \ge 0$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$t^2 + t = 2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -2, а их сумма -1. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Остается только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x} = 1$

Возводим обе части в четвертую степень:

$x = 1^4 = 1$.

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$.

в) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Используем замену $t = \sqrt[4]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно 2, а сумма 3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня неотрицательны, поэтому оба подходят.

Выполняем обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x} = 1$. Возводим в четвертую степень: $x = 1^4 = 1$.
2. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возводим в четвертую степень: $x = 2^4 = 16$.

Оба значения (1 и 16) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 16$.

г) $\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} = 6$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$.

Подставляем в уравнение:

$t^2 - 5t = 6$

Приведем к стандартному виду:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма 5. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Так как должно выполняться условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = 6$.

Выполняем обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 6$

Возводим обе части в шестую степень:

$x = 6^6 = 46656$.

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 46656$.