Номер 408, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 408, страница 213.

Условие.

Приведите числовое выражение к виду $a \sqrt[n]{b}$, где $a$ — рациональное число, а $b$ — натуральное (408—409).

408.—

а) $\frac{2}{\sqrt[3]{4}};

б) $\frac{6}{\sqrt[5]{27 \cdot 25}};

в) $\frac{3}{\sqrt[4]{12}};

г) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы привести выражение $ \frac{2}{\sqrt[3]{4}} $ к заданному виду $ a \sqrt[n]{b} $, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого сначала представим подкоренное выражение в знаменателе как степень простого числа: $ 4 = 2^2 $. Тогда дробь запишется как $ \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} $. Чтобы знаменатель стал рациональным числом, подкоренное выражение должно быть полным кубом, то есть $2^3$. Для этого необходимо домножить его на $2^1$. Соответственно, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[3]{2} $: $ \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} $. После сокращения дроби на 2 получаем $ \sqrt[3]{2} $. В данном выражении $ a=1 $ (рациональное число) и $ b=2 $ (натуральное число).

Ответ: $ \sqrt[3]{2} $

б)

Для преобразования дроби $ \frac{6}{\sqrt[5]{27 \cdot 25}} $ избавимся от иррациональности в знаменателе. Разложим числа под корнем на простые множители: $ 27 = 3^3 $ и $ 25 = 5^2 $. Выражение примет вид $ \frac{6}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 5^2}} $. Чтобы извлечь корень пятой степени, показатели степеней множителей под корнем должны быть равны 5. Домножим подкоренное выражение на $3^{5-3} \cdot 5^{5-2} = 3^2 \cdot 5^3$. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{3^2 \cdot 5^3} $: $ \frac{6}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 5^2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{3^2 \cdot 5^3}}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 5^2} \cdot \sqrt[5]{3^2 \cdot 5^3}} = \frac{6 \sqrt[5]{9 \cdot 125}}{\sqrt[5]{3^5 \cdot 5^5}} = \frac{6 \sqrt[5]{1125}}{3 \cdot 5} = \frac{6 \sqrt[5]{1125}}{15} $. Сократим рациональный коэффициент $ \frac{6}{15} $ на 3 и получим $ \frac{2}{5} $. Итоговое выражение: $ \frac{2}{5} \sqrt[5]{1125} $. Здесь $ a=\frac{2}{5} $ (рациональное число) и $ b=1125 $ (натуральное число).

Ответ: $ \frac{2}{5}\sqrt[5]{1125} $

в)

Преобразуем выражение $ \frac{3}{\sqrt[4]{12}} $. Сначала разложим подкоренное число 12 на простые множители: $ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1 $. Дробь имеет вид $ \frac{3}{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3}} $. Чтобы избавиться от корня четвертой степени в знаменателе, необходимо, чтобы показатели степеней множителей под корнем были равны 4. Домножим подкоренное выражение на $2^{4-2} \cdot 3^{4-1} = 2^2 \cdot 3^3$. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3} $: $ \frac{3}{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3}} = \frac{3 \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}}{\sqrt[4]{2^2 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}} = \frac{3 \sqrt[4]{4 \cdot 27}}{\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}} = \frac{3 \sqrt[4]{108}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \sqrt[4]{108}}{6} $. Сократив коэффициент $ \frac{3}{6} $, получаем $ \frac{1}{2} $. Итоговое выражение: $ \frac{1}{2} \sqrt[4]{108} $. Здесь $ a=\frac{1}{2} $ (рациональное число) и $ b=108 $ (натуральное число).

Ответ: $ \frac{1}{2}\sqrt[4]{108} $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{10}{\sqrt[5]{8}} $. Представим подкоренное число 8 в виде степени: $ 8 = 2^3 $. Выражение примет вид $ \frac{10}{\sqrt[5]{2^3}} $. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, подкоренное выражение должно стать полным пятой степенью, то есть $2^5$. Для этого домножим его на $2^{5-3} = 2^2$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $: $ \frac{10}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{10 \cdot \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{4}} = \frac{10 \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{10 \sqrt[5]{4}}{2} $. Сократив коэффициент $ \frac{10}{2} $, получаем 5. Итоговое выражение: $ 5\sqrt[5]{4} $. Здесь $ a=5 $ (рациональное число) и $ b=4 $ (натуральное число).

Ответ: $ 5\sqrt[5]{4} $