Номер 415, страница 214 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 415, страница 214.
№415 (с. 214)
Условие. №415 (с. 214)
скриншот условия

415.— Найдите значение выражения:
а) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}};$
б) $\frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17};$
в) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}};$
г) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}}.$
Решение 1. №415 (с. 214)

Решение 3. №415 (с. 214)

Решение 4. №415 (с. 214)

Решение 5. №415 (с. 214)
а) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$
Для решения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Это позволяет нам объединить два корня в один:
$\sqrt[3]{(10 + \sqrt{73}) \cdot (10 - \sqrt{73})}$
Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=10$ и $y=\sqrt{73}$. Применим эту формулу:
$\sqrt[3]{10^2 - (\sqrt{73})^2} = \sqrt[3]{100 - 73} = \sqrt[3]{27}$
Кубический корень из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$.
Ответ: 3
б) $\frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17}$
Сначала преобразуем дробь, используя свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^2}{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17}$
Далее, упростим подкоренное выражение. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби внутри корня на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(4 + \sqrt{17})$:
$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^2 \cdot (4 + \sqrt{17})}{(4 - \sqrt{17}) \cdot (4 + \sqrt{17})}} + \sqrt{17}$
В числителе получаем куб выражения: $(4 + \sqrt{17})^3$. В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $4^2 - (\sqrt{17})^2 = 16 - 17 = -1$.
Теперь выражение выглядит так:
$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^3}{-1}} + \sqrt{17} = \sqrt[3]{-(4 + \sqrt{17})^3} + \sqrt{17}$
Извлекаем кубический корень:
$-(4 + \sqrt{17}) + \sqrt{17}$
Раскрываем скобки и выполняем сложение:
$-4 - \sqrt{17} + \sqrt{17} = -4$
Ответ: -4
в) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}}$
Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, чтобы записать выражение под одним корнем четвертой степени:
$\sqrt[4]{(9 - \sqrt{65}) \cdot (9 + \sqrt{65})}$
К подкоренному выражению применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=9$ и $y=\sqrt{65}$:
$\sqrt[4]{9^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt[4]{81 - 65} = \sqrt[4]{16}$
Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.
Ответ: 2
г) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}}$
Как и в предыдущих примерах, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{(3 - \sqrt{5}) \cdot (3 + \sqrt{5})}$
Снова применяем формулу разности квадратов к выражению под корнем, где $x=3$ и $y=\sqrt{5}$:
$\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4}$
Квадратный корень из 4 равен 2.
$\sqrt{4} = 2$
Ответ: 2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 415 расположенного на странице 214 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №415 (с. 214), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.