Номер 415, страница 214 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 415, страница 214.

Условие.

415.— Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}};$

б) $\frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17};$

в) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}};$

г) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$

Для решения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Это позволяет нам объединить два корня в один:

$\sqrt[3]{(10 + \sqrt{73}) \cdot (10 - \sqrt{73})}$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=10$ и $y=\sqrt{73}$. Применим эту формулу:

$\sqrt[3]{10^2 - (\sqrt{73})^2} = \sqrt[3]{100 - 73} = \sqrt[3]{27}$

Кубический корень из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$.

Ответ: 3

б) $\frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17}$

Сначала преобразуем дробь, используя свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^2}{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17}$

Далее, упростим подкоренное выражение. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби внутри корня на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(4 + \sqrt{17})$:

$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^2 \cdot (4 + \sqrt{17})}{(4 - \sqrt{17}) \cdot (4 + \sqrt{17})}} + \sqrt{17}$

В числителе получаем куб выражения: $(4 + \sqrt{17})^3$. В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $4^2 - (\sqrt{17})^2 = 16 - 17 = -1$.

Теперь выражение выглядит так:

$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^3}{-1}} + \sqrt{17} = \sqrt[3]{-(4 + \sqrt{17})^3} + \sqrt{17}$

Извлекаем кубический корень:

$-(4 + \sqrt{17}) + \sqrt{17}$

Раскрываем скобки и выполняем сложение:

$-4 - \sqrt{17} + \sqrt{17} = -4$

Ответ: -4

в) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, чтобы записать выражение под одним корнем четвертой степени:

$\sqrt[4]{(9 - \sqrt{65}) \cdot (9 + \sqrt{65})}$

К подкоренному выражению применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=9$ и $y=\sqrt{65}$:

$\sqrt[4]{9^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt[4]{81 - 65} = \sqrt[4]{16}$

Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.

Ответ: 2

г) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}}$

Как и в предыдущих примерах, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{(3 - \sqrt{5}) \cdot (3 + \sqrt{5})}$

Снова применяем формулу разности квадратов к выражению под корнем, где $x=3$ и $y=\sqrt{5}$:

$\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4}$

Квадратный корень из 4 равен 2.

$\sqrt{4} = 2$

Ответ: 2