Страница 214 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

415.— Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}};$

б) $\frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17};$

в) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}};$

г) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}}.$

а) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$

Для решения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Это позволяет нам объединить два корня в один:

$\sqrt[3]{(10 + \sqrt{73}) \cdot (10 - \sqrt{73})}$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=10$ и $y=\sqrt{73}$. Применим эту формулу:

$\sqrt[3]{10^2 - (\sqrt{73})^2} = \sqrt[3]{100 - 73} = \sqrt[3]{27}$

Кубический корень из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$.

Ответ: 3

б) $\frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17}$

Сначала преобразуем дробь, используя свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^2}{4 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17}$

Далее, упростим подкоренное выражение. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби внутри корня на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(4 + \sqrt{17})$:

$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^2 \cdot (4 + \sqrt{17})}{(4 - \sqrt{17}) \cdot (4 + \sqrt{17})}} + \sqrt{17}$

В числителе получаем куб выражения: $(4 + \sqrt{17})^3$. В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $4^2 - (\sqrt{17})^2 = 16 - 17 = -1$.

Теперь выражение выглядит так:

$\sqrt[3]{\frac{(4 + \sqrt{17})^3}{-1}} + \sqrt{17} = \sqrt[3]{-(4 + \sqrt{17})^3} + \sqrt{17}$

Извлекаем кубический корень:

$-(4 + \sqrt{17}) + \sqrt{17}$

Раскрываем скобки и выполняем сложение:

$-4 - \sqrt{17} + \sqrt{17} = -4$

Ответ: -4

в) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, чтобы записать выражение под одним корнем четвертой степени:

$\sqrt[4]{(9 - \sqrt{65}) \cdot (9 + \sqrt{65})}$

К подкоренному выражению применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=9$ и $y=\sqrt{65}$:

$\sqrt[4]{9^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt[4]{81 - 65} = \sqrt[4]{16}$

Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.

Ответ: 2

г) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}}$

Как и в предыдущих примерах, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{(3 - \sqrt{5}) \cdot (3 + \sqrt{5})}$

Снова применяем формулу разности квадратов к выражению под корнем, где $x=3$ и $y=\sqrt{5}$:

$\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4}$

Квадратный корень из 4 равен 2.

$\sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала:

a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}};

б) $\frac{2}{a - \sqrt[3]{b}};

в) $\frac{2}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7}};

г) $\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}.$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}$, воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
В нашем случае $x = \sqrt[3]{2}$ и $y = \sqrt[3]{3}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, которым является неполный квадрат суммы: $(\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$.
$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})}{(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{2-3} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{-1} = -(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$.
Ответ: $-(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$.

б) Для выражения $\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}}$ применим ту же формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a$ и $y = \sqrt[3]{b}$.
Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $a^2 + a\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$.
$\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}} = \frac{2 \cdot (a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{(a-\sqrt[3]{b})(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{2(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a^3 - (\sqrt[3]{b})^3} = \frac{2(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a^3 - b}$.
Ответ: $\frac{2(a^2 + a\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a^3 - b}$.

в) В знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}$ находится сумма, поэтому воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Здесь $x = \sqrt[3]{5}$ и $y = \sqrt[3]{7}$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $(\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49}$.
$\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}} = \frac{2 \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})} = \frac{2(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{7})^3} = \frac{2(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{5+7} = \frac{2(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49})}{12} = \frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{49}}{6}$.

г) Знаменатель дроби $\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$ представляет собой неполный квадрат разности $(\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2$. Это является одним из множителей в формуле суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Чтобы получить в знаменателе выражение без радикала, необходимо умножить числитель и знаменатель на недостающий множитель, которым является $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})$.
$\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}} = \frac{3a \cdot (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{3a(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3} = \frac{3a(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{a+b}$.
Ответ: $\frac{3a(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{a+b}$.