Страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Проверьте справедливость равенств (381—382).

381.

а) $\sqrt[4]{16} = 2;$

б) $\sqrt[7]{-1} = -1;$

в) $\sqrt[10]{1024} = 2;$

г) $\sqrt[5]{-243} = -3.$

а) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[4]{16} = 2$, нужно проверить, выполняется ли равенство $2^4 = 16$. Так как показатель корня $n=4$ — четное число, то по определению арифметического корня подкоренное выражение ($16$) и значение корня ($2$) должны быть неотрицательными. Это условие выполняется. Выполним проверку возведением в степень:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Поскольку результат ($16$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

б) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[7]{-1} = -1$, нужно проверить, выполняется ли равенство $(-1)^7 = -1$. Так как показатель корня $n=7$ — нечетное число, корень может быть извлечен из отрицательного числа, и его значение также будет отрицательным. Выполним проверку возведением в степень:

$(-1)^7 = -1$.

Поскольку результат ($-1$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

в) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[10]{1024} = 2$, нужно проверить, выполняется ли равенство $2^{10} = 1024$. Показатель корня $n=10$ — четное число, подкоренное выражение ($1024$) и значение корня ($2$) неотрицательны, что соответствует определению. Выполним проверку возведением в степень:

$2^{10} = 1024$.

Поскольку результат ($1024$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

г) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[5]{-243} = -3$, нужно проверить, выполняется ли равенство $(-3)^5 = -243$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число, поэтому корень из отрицательного числа определен и его значение должно быть отрицательным. Это условие выполняется. Выполним проверку возведением в степень:

$(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$.

Поскольку результат ($-243$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

382. а) $ \sqrt[17]{1} = 1; $

б) $ \sqrt[6]{64} = 2; $

в) $ \sqrt[3]{-343} = -7; $

г) $ \sqrt[19]{0} = 0. $

а) Для проверки верности равенства $\sqrt[17]{1} = 1$ воспользуемся определением корня n-ой степени. Равенство $\sqrt[n]{a} = b$ считается верным, если выполняется условие $b^n = a$.

В нашем случае $n=17$, $a=1$, $b=1$. Проверим, выполняется ли равенство $1^{17} = 1$.

Так как число 1 в любой степени равно 1, то $1^{17} = 1$. Условие выполняется, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство $\sqrt[17]{1} = 1$ верно.

б) Для проверки верности равенства $\sqrt[6]{64} = 2$ воспользуемся определением арифметического корня n-ой степени. Равенство $\sqrt[n]{a} = b$ считается верным, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^n = a$.

В нашем случае $n=6$, $a=64$, $b=2$.

Проверим оба условия:

1. $b \ge 0$: $2 \ge 0$. Условие выполнено.

2. $b^n = a$: проверим, верно ли, что $2^6 = 64$.

Вычислим степень: $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$. Условие выполнено.

Поскольку оба условия выполняются, исходное равенство верно.

Ответ: равенство $\sqrt[6]{64} = 2$ верно.

в) Для проверки верности равенства $\sqrt[3]{-343} = -7$ воспользуемся определением корня нечетной степени. Равенство $\sqrt[n]{a} = b$ (где $n$ — нечетное число) считается верным, если выполняется условие $b^n = a$.

В нашем случае $n=3$ (нечетное), $a=-343$, $b=-7$.

Проверим, выполняется ли равенство $(-7)^3 = -343$.

Вычислим степень: $(-7)^3 = (-7) \times (-7) \times (-7) = 49 \times (-7) = -343$.

Условие выполняется, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство $\sqrt[3]{-343} = -7$ верно.

г) Для проверки верности равенства $\sqrt[19]{0} = 0$ воспользуемся определением корня n-ой степени. Равенство $\sqrt[n]{a} = b$ считается верным, если выполняется условие $b^n = a$.

В нашем случае $n=19$, $a=0$, $b=0$.

Проверим, выполняется ли равенство $0^{19} = 0$.

Так как число 0 в любой положительной степени равно 0, то $0^{19} = 0$. Условие выполняется, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство $\sqrt[19]{0} = 0$ верно.

Вычислите (383-384).

383. а) $\sqrt[3]{-27}$;

б) $\sqrt[4]{81}$;

в) $\sqrt[5]{-32}$;

г) $\sqrt[3]{64}$.

а)

Чтобы вычислить корень третьей (нечетной) степени из отрицательного числа -27, необходимо найти такое число, которое при возведении в третью степень даст -27.

Искомое число обозначим как $x$. Тогда должно выполняться равенство: $x^3 = -27$.

Известно, что $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Поскольку степень нечетная, корень из отрицательного числа будет отрицательным. Проверим число -3: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Ответ: -3

б)

Чтобы вычислить корень четвертой (четной) степени из числа 81, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 81.

Искомое число обозначим как $x$. Тогда должно выполняться равенство: $x^4 = 81$, где $x \ge 0$.

Представим число 81 в виде степени: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Таким образом, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

в)

Чтобы вычислить корень пятой (нечетной) степени из отрицательного числа -32, необходимо найти такое число, которое при возведении в пятую степень даст -32.

Искомое число обозначим как $x$. Тогда должно выполняться равенство: $x^5 = -32$.

Известно, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Так как степень нечетная, корень из отрицательного числа будет отрицательным. Проверим число -2: $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{-32} = -2$.

Ответ: -2

г)

Чтобы вычислить корень третьей (нечетной) степени из числа 64, необходимо найти такое число, которое при возведении в третью степень даст 64.

Искомое число обозначим как $x$. Тогда должно выполняться равенство: $x^3 = 64$.

Представим число 64 в виде куба некоторого числа: $64 = 4 \cdot 16 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.

Таким образом, $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$.

Ответ: 4

384. а) $ \sqrt[5]{\frac{1}{32}} $;

б) $ \sqrt[4]{\frac{81}{625}} $;

в) $ \sqrt[3]{\frac{27}{8}} $;

г) $ \sqrt[4]{\frac{81}{256}} $.

а)

Для вычисления корня n-ой степени из дроби используется свойство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Применим это свойство к данному выражению:

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$

Теперь вычислим корень из числителя и знаменателя по отдельности.

Корень пятой степени из 1 равен 1, так как $1^5 = 1$.

Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Подставляем найденные значения обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$

Также можно решить задачу, представив подкоренное выражение в виде степени: $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Тогда $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{(\frac{1}{2})^5} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для вычисления корня четвертой степени из дроби $\frac{81}{625}$ воспользуемся тем же свойством корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}$

Вычислим корни из числителя и знаменателя.

Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Получаем результат:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$

Альтернативное решение: представляем числитель и знаменатель как степени. $81 = 3^4$ и $625 = 5^4$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{5^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{5})^4} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в)

Чтобы найти корень третьей степени (кубический корень) из дроби $\frac{27}{8}$, применим свойство корня из частного:

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычислим кубические корни.

Кубический корень из 27 равен 3, потому что $3^3 = 27$.

Кубический корень из 8 равен 2, потому что $2^3 = 8$.

Подставляем значения:

$\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Другой способ: $27 = 3^3$ и $8 = 2^3$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}} = \sqrt[3]{(\frac{3}{2})^3} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

г)

Для вычисления корня четвертой степени из дроби $\frac{81}{256}$ используем свойство корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим корни из числителя и знаменателя.

Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 81$.

Корень четвертой степени из 256 равен 4, так как $4^4 = 256$.

Получаем итоговый результат:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{3}{4}$

Альтернативное решение: $81 = 3^4$ и $256 = 4^4$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{4^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{4})^4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

Решите уравнения (385–388).

385.-

a) $x^3 + 4 = 0$;

б) $x^6 = 5$;

в) $x^3 = 4$;

г) $x^4 = 10$.

а) $x^3 + 4 = 0$

Чтобы решить это уравнение, сначала изолируем член с переменной $x$. Для этого перенесем 4 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^3 = -4$

Теперь, чтобы найти $x$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения. Корень нечетной степени (в данном случае 3) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

$x = \sqrt[3]{-4}$

Это можно записать в виде:

$x = -\sqrt[3]{4}$

Ответ: $x = -\sqrt[3]{4}$

б) $x^6 = 5$

Для нахождения $x$ извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Поскольку показатель степени (6) является четным числом, а правая часть уравнения (5) — положительным числом, уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

$x_1 = \sqrt[6]{5}$

$x_2 = -\sqrt[6]{5}$

Эти два решения можно записать в сокращенном виде:

$x = \pm\sqrt[6]{5}$

Ответ: $x = \pm\sqrt[6]{5}$

в) $x^3 = 4$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (3) является нечетным числом, уравнение имеет только один действительный корень.

$x = \sqrt[3]{4}$

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$

г) $x^4 = 10$

Для решения этого уравнения извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Поскольку показатель степени (4) является четным, а правая часть (10) — положительной, уравнение будет иметь два действительных корня, один положительный и один отрицательный.

$x_1 = \sqrt[4]{10}$

$x_2 = -\sqrt[4]{10}$

Объединив решения, получаем:

$x = \pm\sqrt[4]{10}$

Ответ: $x = \pm\sqrt[4]{10}$

386. a) $x^{10} - 15 = 0;$

б) $x^7 + 128 = 0;$

В) $x^6 - 64 = 0;$

Г) $x^5 = 3.$

а)

Дано уравнение $x^{10} - 15 = 0$.

Чтобы найти $x$, сначала изолируем член с переменной, перенеся константу в правую часть уравнения:

$x^{10} = 15$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=10$ является четным числом, а правая часть $a=15$ — положительным числом. В таком случае уравнение имеет два действительных корня, которые симметричны относительно нуля.

Корни находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$.

Подставим наши значения $n=10$ и $a=15$:

$x = \pm \sqrt[10]{15}$

Ответ: $x = \pm \sqrt[10]{15}$

б)

Дано уравнение $x^7 + 128 = 0$.

Перенесем константу в правую часть уравнения:

$x^7 = -128$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=7$ является нечетным числом. Уравнение с нечетным показателем всегда имеет один действительный корень, независимо от знака правой части $a$.

Корень находится извлечением корня нечетной степени из обеих частей:

$x = \sqrt[7]{-128}$

Мы знаем, что $(-2)^7 = -128$, поэтому корень можно вычислить точно:

$x = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2$

Ответ: $x = -2$

в)

Дано уравнение $x^6 - 64 = 0$.

Перенесем константу в правую часть:

$x^6 = 64$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=6$ является четным числом, а правая часть $a=64$ — положительным числом. Уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$.

Подставим наши значения $n=6$ и $a=64$:

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Так как $2^6 = 64$, мы можем вычислить корень:

$x = \pm \sqrt[6]{2^6} = \pm 2$

Ответ: $x = \pm 2$

г)

Дано уравнение $x^5 = 3$.

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=5$ является нечетным числом, а правая часть $a=3$ — положительным числом. Уравнение с нечетным показателем имеет один действительный корень.

Чтобы найти $x$, извлечем корень 5-й степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[5]{3}$

Это иррациональное число, которое является точным решением уравнения.

Ответ: $x = \sqrt[5]{3}$

387. a) $16x^4 - 1 = 0;$

б) $0,01x^3 + 10 = 0;$

в) $0,02x^6 - 1,28 = 0;$

г) $12 \frac{3}{4} - \frac{3}{4}x^2 = 0.$

а) $16x^4 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак, и затем разделим обе части на коэффициент при $x^4$:
$16x^4 = 1$
$x^4 = \frac{1}{16}$
Далее извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня (4) четная, у уравнения будет два действительных решения с противоположными знаками:
$x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$
$x = \pm\frac{1}{2}$

Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

б) $0,01x^3 + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак, и разделим на коэффициент при $x^3$:
$0,01x^3 = -10$
$x^3 = \frac{-10}{0,01} = -1000$
Извлечем кубический корень из обеих частей. Так как степень корня (3) нечетная, уравнение имеет один действительный корень:
$x = \sqrt[3]{-1000}$
$x = -10$

Ответ: $-10$.

в) $0,02x^6 - 1,28 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x^6$:
$0,02x^6 = 1,28$
$x^6 = \frac{1,28}{0,02} = \frac{128}{2} = 64$
Извлечем корень шестой степени из обеих частей. Так как степень корня (6) четная, у уравнения будет два действительных решения:
$x = \pm\sqrt[6]{64}$
$x = \pm 2$

Ответ: $\pm 2$.

г) $12\frac{3}{4} - \frac{3}{4}x^2 = 0$

Перенесем член с переменной $x^2$ в правую часть уравнения:
$12\frac{3}{4} = \frac{3}{4}x^2$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $12\frac{3}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{51}{4}$.
$\frac{51}{4} = \frac{3}{4}x^2$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя, а затем разделим на 3:
$51 = 3x^2$
$x^2 = \frac{51}{3} = 17$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Степень корня (2) четная, поэтому будет два решения:
$x = \pm\sqrt{17}$

Ответ: $\pm\sqrt{17}$.

388. а) $\sqrt[3]{x} = -0,6$

б) $\sqrt[4]{x} = 3$

в) $\sqrt{x} = 5$

г) $\sqrt[7]{x} = -1$

а)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = -0,6$.

Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести обе части уравнения в третью степень, так как это операция, обратная извлечению кубического корня.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-0,6)^3$

В левой части получим $x$, а в правой вычислим куб числа -0,6:

$x = (-0,6) \times (-0,6) \times (-0,6)$

$x = 0,36 \times (-0,6)$

$x = -0,216$

Так как корень нечетной степени (3) определен для любых действительных чисел, и его значение может быть отрицательным, то проверка не требуется.

Ответ: $x = -0,216$.

б)

Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 3$.

Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести обе части уравнения в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{x})^4 = 3^4$

$x = 3 \times 3 \times 3 \times 3$

$x = 9 \times 9$

$x = 81$

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае 4) может быть извлечен только из неотрицательного числа, и его значение также должно быть неотрицательным. В нашем уравнении $3 \ge 0$ и найденное значение $x = 81 \ge 0$, следовательно, решение верно.

Ответ: $x = 81$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{x} = 5$.

Данное уравнение содержит квадратный корень, то есть корень второй степени. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения во вторую степень (в квадрат).

$(\sqrt{x})^2 = 5^2$

$x = 25$

Для арифметического квадратного корня, подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными. Условия $x=25 \ge 0$ и $5 \ge 0$ выполняются, значит, решение корректно.

Ответ: $x = 25$.

г)

Дано уравнение $\sqrt[7]{x} = -1$.

Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести обе части уравнения в седьмую степень.

$(\sqrt[7]{x})^7 = (-1)^7$

При возведении -1 в нечетную степень, результат равен -1.

$x = -1$

Так как корень нечетной степени (7) может быть извлечен из отрицательного числа и его значение может быть отрицательным, полученное решение является верным.

Ответ: $x = -1$.

Найдите значение числового выражения (389–394).

389. а) $(-\sqrt[4]{11})^4$;

б) $(2\sqrt[5]{-2})^5$;

в) $(\sqrt[3]{7})^3$;

г) $(-\sqrt[6]{2})^6$.

а)

Чтобы найти значение выражения $(-\sqrt[4]{11})^4$, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.

$(-\sqrt[4]{11})^4 = (-1 \cdot \sqrt[4]{11})^4 = (-1)^4 \cdot (\sqrt[4]{11})^4$.

Так как показатель степени 4 является четным числом, то $(-1)^4 = 1$.

По определению арифметического корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для неотрицательного $a$. В нашем случае $(\sqrt[4]{11})^4 = 11$.

Следовательно, результат равен $1 \cdot 11 = 11$.

Ответ: 11

б)

Чтобы найти значение выражения $(2\sqrt[5]{-2})^5$, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.

$(2\sqrt[5]{-2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[5]{-2})^5$.

Вычислим значение первого множителя: $2^5 = 32$.

По определению корня n-ой степени для нечетного n, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для любого числа $a$. В нашем случае $(\sqrt[5]{-2})^5 = -2$.

Следовательно, результат равен $32 \cdot (-2) = -64$.

Ответ: -64

в)

Чтобы найти значение выражения $(\sqrt[3]{7})^3$, воспользуемся определением корня n-ой степени.

Согласно определению, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

В данном случае $n=3$ и $a=7$, поэтому $(\sqrt[3]{7})^3 = 7$.

Ответ: 7

г)

Чтобы найти значение выражения $(-\sqrt[6]{2})^6$, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.

$(-\sqrt[6]{2})^6 = (-1 \cdot \sqrt[6]{2})^6 = (-1)^6 \cdot (\sqrt[6]{2})^6$.

Так как показатель степени 6 является четным числом, то $(-1)^6 = 1$.

По определению арифметического корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В нашем случае $(\sqrt[6]{2})^6 = 2$.

Следовательно, результат равен $1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2