Номер 381, страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 381, страница 211.

Условие.

Проверьте справедливость равенств (381—382).

381.

а) $\sqrt[4]{16} = 2;$

б) $\sqrt[7]{-1} = -1;$

в) $\sqrt[10]{1024} = 2;$

г) $\sqrt[5]{-243} = -3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[4]{16} = 2$, нужно проверить, выполняется ли равенство $2^4 = 16$. Так как показатель корня $n=4$ — четное число, то по определению арифметического корня подкоренное выражение ($16$) и значение корня ($2$) должны быть неотрицательными. Это условие выполняется. Выполним проверку возведением в степень:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Поскольку результат ($16$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

б) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[7]{-1} = -1$, нужно проверить, выполняется ли равенство $(-1)^7 = -1$. Так как показатель корня $n=7$ — нечетное число, корень может быть извлечен из отрицательного числа, и его значение также будет отрицательным. Выполним проверку возведением в степень:

$(-1)^7 = -1$.

Поскольку результат ($-1$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

в) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[10]{1024} = 2$, нужно проверить, выполняется ли равенство $2^{10} = 1024$. Показатель корня $n=10$ — четное число, подкоренное выражение ($1024$) и значение корня ($2$) неотрицательны, что соответствует определению. Выполним проверку возведением в степень:

$2^{10} = 1024$.

Поскольку результат ($1024$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.

г) Чтобы проверить справедливость равенства $\sqrt[5]{-243} = -3$, нужно проверить, выполняется ли равенство $(-3)^5 = -243$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число, поэтому корень из отрицательного числа определен и его значение должно быть отрицательным. Это условие выполняется. Выполним проверку возведением в степень:

$(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$.

Поскольку результат ($-243$) совпадает с подкоренным выражением, равенство является справедливым.

Ответ: равенство справедливо.