Номер 379, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 379, страница 199.

Условие.

379. Однородный стержень длиной $l = 20$ см вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения $\omega = 10\pi$ с$^{-1}$. Площадь поперечного сечения стержня $S = 4$ см$^{2}$, плотность материала, из которого изготовлен стержень, равна $\rho = 7,8$ г/см$^{3}$. Найдите кинетическую энергию стержня.

Решение 1.

Решение 5.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой:
$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$
где $E_k$ — кинетическая энергия, $I$ — момент инерции тела относительно оси вращения, а $\omega$ — угловая скорость вращения.

Для однородного стержня длиной $l$ и массой $m$, вращающегося вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через один из его концов, момент инерции равен:
$I = \frac{1}{3} m l^2$

Массу стержня $m$ можно выразить через его плотность $\rho$, площадь поперечного сечения $S$ и длину $l$:
$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot l$

Теперь объединим формулы. Сначала подставим выражение для массы в формулу момента инерции:
$I = \frac{1}{3} (\rho S l) l^2 = \frac{1}{3} \rho S l^3$
Затем подставим полученный момент инерции в формулу кинетической энергии:
$E_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \rho S l^3 \right) \omega^2 = \frac{1}{6} \rho S l^3 \omega^2$

Для проведения вычислений переведем все величины в Международную систему единиц (СИ):

• Длина: $l = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
• Площадь сечения: $S = 4 \text{ см}^2 = 4 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ м}^2$
• Плотность: $\rho = 7,8 \text{ г/см}^3 = 7,8 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 7,8 \times 10^3 \text{ кг/м}^3$
• Угловая скорость: $\omega = 10\pi \text{ с}^{-1}$ (или рад/с)

Подставим числовые значения в итоговую формулу:
$E_k = \frac{1}{6} \cdot (7,8 \times 10^3 \text{ кг/м}^3) \cdot (4 \times 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (0,2 \text{ м})^3 \cdot (10\pi \text{ с}^{-1})^2$
$E_k = \frac{1}{6} \cdot (7,8 \times 10^3) \cdot (4 \times 10^{-4}) \cdot (0,008) \cdot (100 \pi^2)$
$E_k = \frac{7,8 \cdot 4 \cdot 0,008 \cdot 100 \cdot \pi^2}{6} \cdot 10^{3-4}$
$E_k = \frac{24,96 \cdot \pi^2}{6} \cdot 10^{-1}$
$E_k = 4,16 \cdot \pi^2 \cdot 10^{-1} = 0,416 \pi^2 \text{ Дж}$

Для получения численного значения, используем приближение $\pi^2 \approx 9,87$:
$E_k \approx 0,416 \cdot 9,87 \approx 4,106 \text{ Дж}$

Ответ: $E_k = 0,416 \pi^2 \text{ Дж} \approx 4,11 \text{ Дж}$.