Номер 1, страница 205 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 1, страница 205.

Условие.

1) Сформулируйте определение первообразной.

2) Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R:

а) $f(x) = 2x + 3, F(x) = x^2 + 3x + 1;$

б) $f(x) = \sin 2x + 3, F(x) = - \frac{\cos 2x}{2} + 3x;$

в) $f(x) = -x^3 + 5, F(x) = - \frac{x^4}{4} + 5x + 2;$

г) $f(x) = -\cos \frac{x}{2} + 1, F(x) = -2 \sin \frac{x}{2} + x.$

3) Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке:

а) $F(x) = x^2 - x, f(x) = 2x - 1$ на R;

б) $F(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x, f(x) = -\frac{1}{x^3} - \cos x$ на R;

в) $F(x) = x^3 + 1, f(x) = \frac{x^4}{4} + x$ на R,

г) $F(x) = x + \cos x, f(x) = 1 - \sin x$ на R?

Решение 5.

1)

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

2)

Для доказательства того, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

а) $f(x) = 2x + 3, F(x) = x^2 + 3x + 1$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^2 + 3x + 1)' = (x^2)' + (3x)' + (1)' = 2x + 3$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $2x + 3 = 2x + 3$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

б) $f(x) = \sin 2x + 3, F(x) = -\frac{\cos 2x}{2} + 3x$

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (-\frac{1}{2} \cos 2x + 3x)' = (-\frac{1}{2} \cos 2x)' + (3x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' + 3 = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 2 + 3 = \sin 2x + 3$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $\sin 2x + 3 = \sin 2x + 3$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

в) $f(x) = -x^3 + 5, F(x) = -\frac{x^4}{4} + 5x + 2$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-\frac{x^4}{4} + 5x + 2)' = (-\frac{1}{4}x^4)' + (5x)' + (2)' = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 5 + 0 = -x^3 + 5$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $-x^3 + 5 = -x^3 + 5$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

г) $f(x) = -\cos \frac{x}{2} + 1, F(x) = -2 \sin \frac{x}{2} + x$

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (-2 \sin \frac{x}{2} + x)' = (-2 \sin \frac{x}{2})' + (x)' = -2 \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' + 1 = -2 \cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 = -\cos \frac{x}{2} + 1$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $-\cos \frac{x}{2} + 1 = -\cos \frac{x}{2} + 1$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

3)

Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$.

а) $F(x) = x^2 - x, f(x) = 2x - 1$ на $R$

Найдём производную функции $F(x)$: $F'(x) = (x^2 - x)' = 2x - 1$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $F'(x) = 2x - 1$ и $f(x) = 2x - 1$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

б) $F(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x, f(x) = -\frac{1}{x^3} - \cos x$ на $R$

Найдём производную функции $F(x) = x^{-2} - \sin x$:

$F'(x) = (x^{-2} - \sin x)' = -2x^{-3} - \cos x = -\frac{2}{x^3} - \cos x$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $-\frac{2}{x^3} - \cos x \neq -\frac{1}{x^3} - \cos x$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется. Кроме того, функция $F(x)$ не определена в точке $x=0$, поэтому она не может быть первообразной на всём множестве действительных чисел $R$.

Ответ: Нет, не является.

в) $F(x) = x^3 + 1, f(x) = \frac{x^4}{4} + x$ на $R$

Найдём производную функции $F(x)$: $F'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $3x^2 \neq \frac{x^4}{4} + x$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется.

Ответ: Нет, не является.

г) $F(x) = x + \cos x, f(x) = 1 - \sin x$ на $R$

Найдём производную функции $F(x)$: $F'(x) = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $F'(x) = 1 - \sin x$ и $f(x) = 1 - \sin x$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.