Номер 4, страница 206 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 4, страница 206.

№4 (с. 206)
Условие. №4 (с. 206)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 206, номер 4, Условие

4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

2) Приведите примеры криволинейных трапеций.

3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями, и найдите ее площадь:

а) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{3}$;

б) $y = -x^3$, $y = 0$, $x = -2$;

в) $y = (x - 1)^2$, $y = 0$, $x = 3$;

г) $y = 3 - 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -2$.

Решение 5. №4 (с. 206)

1)

Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости $xOy$, ограниченная графиком непрерывной и не отрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя прямыми $x = a$ и $x = b$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_a^b f(x) \,dx$

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Формула для вычисления её площади: $S = \int_a^b f(x) \,dx$.

2)

Примеры криволинейных трапеций:

  • Фигура, ограниченная параболой $y = x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$ и $x = 2$.
  • Фигура, ограниченная одной полуволной синусоиды $y = \sin x$, осью $Ox$ на отрезке $[0, \pi]$.
  • Фигура, ограниченная гиперболой $y = 1/x$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$ и $x = 5$.

Ответ: Примеры приведены выше.

3) а)

Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. На отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ является непрерывной и неотрицательной.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin x \,dx$
Найдем первообразную для $\sin x$: $F(x) = -\cos x$.
Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\frac{\pi}{3}) - F(\frac{\pi}{6}) = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3) б)

Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 0$ и $x = -2$. Найдем вторую границу интегрирования, решив уравнение $-x^3 = 0$, откуда $x=0$. Таким образом, интегрирование ведется по отрезку $[-2, 0]$.
На отрезке $[-2, 0]$ функция $y = -x^3$ неотрицательна (например, при $x=-1$, $y = -(-1)^3 = 1 > 0$).
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \,dx$
Первообразная для $-x^3$: $F(x) = -\frac{x^4}{4}$.
$S = F(0) - F(-2) = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-2)^4}{4}) = 0 - (-\frac{16}{4}) = 4$

Ответ: $4$

3) в)

Фигура ограничена линиями $y = (x - 1)^2$, $y = 0$ и $x = 3$. Найдем вторую границу, решив уравнение $(x - 1)^2 = 0$, откуда $x=1$. Интегрирование ведется по отрезку $[1, 3]$.
На отрезке $[1, 3]$ функция $y = (x - 1)^2$ неотрицательна.
Площадь фигуры:
$S = \int_{1}^{3} (x-1)^2 \,dx$
Первообразная для $(x-1)^2$: $F(x) = \frac{(x-1)^3}{3}$.
$S = F(3) - F(1) = \frac{(3-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

3) г)

Фигура ограничена линиями $y = 3 - 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = -2$. Интегрирование ведется по отрезку $[-2, 0]$.
Проверим знак функции $y = 3 - 2x - x^2$ на этом отрезке. Корни уравнения $-x^2 - 2x + 3 = 0$ (или $x^2 + 2x - 3 = 0$) равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вниз, значит, функция положительна на интервале $(-3, 1)$. Отрезок $[-2, 0]$ полностью входит в этот интервал, следовательно, функция на нем неотрицательна.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{0} (3 - 2x - x^2) \,dx$
Первообразная: $F(x) = 3x - \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}$.
$S = F(0) - F(-2) = (3 \cdot 0 - 0^2 - \frac{0^3}{3}) - (3 \cdot (-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3})$
$S = 0 - (-6 - 4 - \frac{-8}{3}) = -(-10 + \frac{8}{3}) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30 - 8}{3} = \frac{22}{3}$

Ответ: $\frac{22}{3}$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 206 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 206), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.