Номер 4, страница 206 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 4, страница 206.
№4 (с. 206)
Условие. №4 (с. 206)
скриншот условия

4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
2) Приведите примеры криволинейных трапеций.
3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями, и найдите ее площадь:
а) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{3}$;
б) $y = -x^3$, $y = 0$, $x = -2$;
в) $y = (x - 1)^2$, $y = 0$, $x = 3$;
г) $y = 3 - 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -2$.
Решение 5. №4 (с. 206)
1)
Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости $xOy$, ограниченная графиком непрерывной и не отрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя прямыми $x = a$ и $x = b$.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_a^b f(x) \,dx$
Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Формула для вычисления её площади: $S = \int_a^b f(x) \,dx$.
2)
Примеры криволинейных трапеций:
- Фигура, ограниченная параболой $y = x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$ и $x = 2$.
- Фигура, ограниченная одной полуволной синусоиды $y = \sin x$, осью $Ox$ на отрезке $[0, \pi]$.
- Фигура, ограниченная гиперболой $y = 1/x$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$ и $x = 5$.
Ответ: Примеры приведены выше.
3) а)
Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. На отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ является непрерывной и неотрицательной.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin x \,dx$
Найдем первообразную для $\sin x$: $F(x) = -\cos x$.
Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\frac{\pi}{3}) - F(\frac{\pi}{6}) = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
3) б)
Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 0$ и $x = -2$. Найдем вторую границу интегрирования, решив уравнение $-x^3 = 0$, откуда $x=0$. Таким образом, интегрирование ведется по отрезку $[-2, 0]$.
На отрезке $[-2, 0]$ функция $y = -x^3$ неотрицательна (например, при $x=-1$, $y = -(-1)^3 = 1 > 0$).
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \,dx$
Первообразная для $-x^3$: $F(x) = -\frac{x^4}{4}$.
$S = F(0) - F(-2) = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-2)^4}{4}) = 0 - (-\frac{16}{4}) = 4$
Ответ: $4$
3) в)
Фигура ограничена линиями $y = (x - 1)^2$, $y = 0$ и $x = 3$. Найдем вторую границу, решив уравнение $(x - 1)^2 = 0$, откуда $x=1$. Интегрирование ведется по отрезку $[1, 3]$.
На отрезке $[1, 3]$ функция $y = (x - 1)^2$ неотрицательна.
Площадь фигуры:
$S = \int_{1}^{3} (x-1)^2 \,dx$
Первообразная для $(x-1)^2$: $F(x) = \frac{(x-1)^3}{3}$.
$S = F(3) - F(1) = \frac{(3-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$
Ответ: $\frac{8}{3}$
3) г)
Фигура ограничена линиями $y = 3 - 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = -2$. Интегрирование ведется по отрезку $[-2, 0]$.
Проверим знак функции $y = 3 - 2x - x^2$ на этом отрезке. Корни уравнения $-x^2 - 2x + 3 = 0$ (или $x^2 + 2x - 3 = 0$) равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вниз, значит, функция положительна на интервале $(-3, 1)$. Отрезок $[-2, 0]$ полностью входит в этот интервал, следовательно, функция на нем неотрицательна.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{0} (3 - 2x - x^2) \,dx$
Первообразная: $F(x) = 3x - \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}$.
$S = F(0) - F(-2) = (3 \cdot 0 - 0^2 - \frac{0^3}{3}) - (3 \cdot (-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3})$
$S = 0 - (-6 - 4 - \frac{-8}{3}) = -(-10 + \frac{8}{3}) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30 - 8}{3} = \frac{22}{3}$
Ответ: $\frac{22}{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 206 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 206), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.