Номер 4, страница 206 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Вопросы и задачи на повторение - номер 4, страница 206.

Условие.

4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

2) Приведите примеры криволинейных трапеций.

3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями, и найдите ее площадь:

а) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{3}$;

б) $y = -x^3$, $y = 0$, $x = -2$;

в) $y = (x - 1)^2$, $y = 0$, $x = 3$;

г) $y = 3 - 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -2$.

Решение 5.

1)

Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости $xOy$, ограниченная графиком непрерывной и не отрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя прямыми $x = a$ и $x = b$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_a^b f(x) \,dx$

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Формула для вычисления её площади: $S = \int_a^b f(x) \,dx$.

2)

Примеры криволинейных трапеций:

• Фигура, ограниченная параболой $y = x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$ и $x = 2$.
• Фигура, ограниченная одной полуволной синусоиды $y = \sin x$, осью $Ox$ на отрезке $[0, \pi]$.
• Фигура, ограниченная гиперболой $y = 1/x$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$ и $x = 5$.

Ответ: Примеры приведены выше.

3) а)

Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. На отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ является непрерывной и неотрицательной.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin x \,dx$
Найдем первообразную для $\sin x$: $F(x) = -\cos x$.
Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\frac{\pi}{3}) - F(\frac{\pi}{6}) = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3) б)

Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 0$ и $x = -2$. Найдем вторую границу интегрирования, решив уравнение $-x^3 = 0$, откуда $x=0$. Таким образом, интегрирование ведется по отрезку $[-2, 0]$.
На отрезке $[-2, 0]$ функция $y = -x^3$ неотрицательна (например, при $x=-1$, $y = -(-1)^3 = 1 > 0$).
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \,dx$
Первообразная для $-x^3$: $F(x) = -\frac{x^4}{4}$.
$S = F(0) - F(-2) = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-2)^4}{4}) = 0 - (-\frac{16}{4}) = 4$

Ответ: $4$

3) в)

Фигура ограничена линиями $y = (x - 1)^2$, $y = 0$ и $x = 3$. Найдем вторую границу, решив уравнение $(x - 1)^2 = 0$, откуда $x=1$. Интегрирование ведется по отрезку $[1, 3]$.
На отрезке $[1, 3]$ функция $y = (x - 1)^2$ неотрицательна.
Площадь фигуры:
$S = \int_{1}^{3} (x-1)^2 \,dx$
Первообразная для $(x-1)^2$: $F(x) = \frac{(x-1)^3}{3}$.
$S = F(3) - F(1) = \frac{(3-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

3) г)

Фигура ограничена линиями $y = 3 - 2x - x^2$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = -2$. Интегрирование ведется по отрезку $[-2, 0]$.
Проверим знак функции $y = 3 - 2x - x^2$ на этом отрезке. Корни уравнения $-x^2 - 2x + 3 = 0$ (или $x^2 + 2x - 3 = 0$) равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вниз, значит, функция положительна на интервале $(-3, 1)$. Отрезок $[-2, 0]$ полностью входит в этот интервал, следовательно, функция на нем неотрицательна.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{0} (3 - 2x - x^2) \,dx$
Первообразная: $F(x) = 3x - \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}$.
$S = F(0) - F(-2) = (3 \cdot 0 - 0^2 - \frac{0^3}{3}) - (3 \cdot (-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3})$
$S = 0 - (-6 - 4 - \frac{-8}{3}) = -(-10 + \frac{8}{3}) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30 - 8}{3} = \frac{22}{3}$

Ответ: $\frac{22}{3}$