Номер 384, страница 211 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 384, страница 211.

Условие.

384. а) $ \sqrt[5]{\frac{1}{32}} $;

б) $ \sqrt[4]{\frac{81}{625}} $;

в) $ \sqrt[3]{\frac{27}{8}} $;

г) $ \sqrt[4]{\frac{81}{256}} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для вычисления корня n-ой степени из дроби используется свойство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Применим это свойство к данному выражению:

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$

Теперь вычислим корень из числителя и знаменателя по отдельности.

Корень пятой степени из 1 равен 1, так как $1^5 = 1$.

Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Подставляем найденные значения обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$

Также можно решить задачу, представив подкоренное выражение в виде степени: $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Тогда $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{(\frac{1}{2})^5} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для вычисления корня четвертой степени из дроби $\frac{81}{625}$ воспользуемся тем же свойством корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}$

Вычислим корни из числителя и знаменателя.

Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Получаем результат:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$

Альтернативное решение: представляем числитель и знаменатель как степени. $81 = 3^4$ и $625 = 5^4$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{5^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{5})^4} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в)

Чтобы найти корень третьей степени (кубический корень) из дроби $\frac{27}{8}$, применим свойство корня из частного:

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычислим кубические корни.

Кубический корень из 27 равен 3, потому что $3^3 = 27$.

Кубический корень из 8 равен 2, потому что $2^3 = 8$.

Подставляем значения:

$\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Другой способ: $27 = 3^3$ и $8 = 2^3$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}} = \sqrt[3]{(\frac{3}{2})^3} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

г)

Для вычисления корня четвертой степени из дроби $\frac{81}{256}$ используем свойство корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим корни из числителя и знаменателя.

Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 81$.

Корень четвертой степени из 256 равен 4, так как $4^4 = 256$.

Получаем итоговый результат:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{3}{4}$

Альтернативное решение: $81 = 3^4$ и $256 = 4^4$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{4^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{4})^4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$