Номер 3, страница 205 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 3, страница 205.

Условие.

3. 1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f (x) = \sin 3x - \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}$

б) $f (x) = \frac{3}{x^4} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) $f (x) = (4 - 5x)^3 - \frac{1}{(2x - 1)^3}$

г) $f (x) = x - 10 \cos 2x$

3) Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M$:

а) $f (x) = (2 - 3x)^2$, $M (1; 2)$

б) $f (x) = \sin 2x$, $M (\frac{\pi}{4}; -2)$

в) $f (x) = \sqrt{2} \cos x$, $M (\frac{\pi}{4}; 2)$

г) $f (x) = -\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $M (0; 3)$

Решение 5.

1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

Существует несколько правил, которые упрощают нахождение первообразных (интегрирование). Вот три основных:

• Правило суммы/разности: Если для функций $f(x)$ и $g(x)$ существуют первообразные $F(x)$ и $G(x)$ соответственно, то для функции $f(x) \pm g(x)$ первообразной будет являться функция $F(x) \pm G(x)$. Иначе говоря, первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.
• Правило постоянного множителя: Если для функции $f(x)$ существует первообразная $F(x)$, а $k$ — постоянная величина (константа), то для функции $k \cdot f(x)$ первообразной будет являться функция $k \cdot F(x)$. То есть, постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.
• Правило для сложной функции вида $f(kx+b)$ (правило линейной подстановки): Если для функции $f(x)$ существует первообразная $F(x)$, а $k$ и $b$ — постоянные величины, причем $k \neq 0$, то для функции $f(kx+b)$ первообразной будет являться функция $\frac{1}{k}F(kx+b)$.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = \sin 3x - \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}$

Для нахождения общего вида первообразных $F(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл от функции $f(x)$. Используем правило суммы/разности, правило постоянного множителя и правило для сложной функции.

$F(x) = \int \left(\sin 3x - \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}\right) dx = \int \sin 3x dx - 2\int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx$

Первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$, а для $\sin 3x$ — это $-\frac{1}{3}\cos 3x$.

Первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ есть $\tan x$, а для $\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ — это $\frac{1}{1/2}\tan \frac{x}{2} = 2\tan \frac{x}{2}$.

Тогда:

$F(x) = -\frac{1}{3}\cos 3x - 2 \cdot \left(2\tan \frac{x}{2}\right) + C = -\frac{1}{3}\cos 3x - 4\tan \frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos 3x - 4\tan\frac{x}{2} + C$.

б) $f(x) = \frac{3}{x^4} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Перепишем функцию в виде со степенями: $f(x) = 3x^{-4} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Используем правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int \left(3x^{-4} - \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) dx = 3\int x^{-4} dx - \frac{1}{2}\int x^{-1/2} dx$

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = -x^{-3} - x^{1/2} + C$.

Возвращаясь к исходной форме записи:

$F(x) = -\frac{1}{x^3} - \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^3} - \sqrt{x} + C$.

в) $f(x) = (4-5x)^3 - \frac{1}{(2x-1)^3}$

Перепишем функцию: $f(x) = (4-5x)^3 - (2x-1)^{-3}$.

Для обоих слагаемых применим правило для функции $(kx+b)^n$, первообразная которой равна $\frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (4-5x)^3 dx - \int (2x-1)^{-3} dx$

Для первого слагаемого: $k=-5, n=3$. Первообразная: $\frac{1}{-5} \cdot \frac{(4-5x)^{3+1}}{3+1} = -\frac{(4-5x)^4}{20}$.

Для второго слагаемого: $k=2, n=-3$. Первообразная: $\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{-3+1}}{-3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{-2}}{-2} = -\frac{(2x-1)^{-2}}{4} = -\frac{1}{4(2x-1)^2}$.

Собираем вместе: $F(x) = -\frac{(4-5x)^4}{20} - \left(-\frac{1}{4(2x-1)^2}\right) + C = -\frac{(4-5x)^4}{20} + \frac{1}{4(2x-1)^2} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(4-5x)^4}{20} + \frac{1}{4(2x-1)^2} + C$.

г) $f(x) = x - 10 \cos 2x$

$F(x) = \int (x - 10 \cos 2x) dx = \int x dx - 10 \int \cos 2x dx$.

Первообразная для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$.

Первообразная для $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$.

$F(x) = \frac{x^2}{2} - 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) + C = \frac{x^2}{2} - 5\sin 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 5\sin 2x + C$.

3) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку M:

а) $f(x) = (2 - 3x)^2, M(1; 2)$

Сначала найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (2 - 3x)^2 dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2 - 3x)^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + C$.

Теперь найдем константу $C$, используя условие, что график проходит через точку $M(1; 2)$, то есть $F(1) = 2$.

$-\frac{(2 - 3 \cdot 1)^3}{9} + C = 2$

$-\frac{(-1)^3}{9} + C = 2$

$\frac{1}{9} + C = 2$

$C = 2 - \frac{1}{9} = \frac{18}{9} - \frac{1}{9} = \frac{17}{9}$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + \frac{17}{9}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + \frac{17}{9}$.

б) $f(x) = \sin 2x, M(\frac{\pi}{4}; -2)$

Общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = -2$ для нахождения $C$.

$-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + C = -2$

$-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = -2$

$-\frac{1}{2} \cdot 0 + C = -2 \implies C = -2$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x - 2$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x - 2$.

в) $f(x) = \sqrt{2} \cos x, M(\frac{\pi}{4}; 2)$

Общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sqrt{2} \cos x dx = \sqrt{2} \int \cos x dx = \sqrt{2}\sin x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 2$ для нахождения $C$.

$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 2$

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C = 2$

$\frac{2}{2} + C = 2 \implies 1 + C = 2 \implies C = 1$.

Искомая первообразная: $F(x) = \sqrt{2}\sin x + 1$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{2}\sin x + 1$.

г) $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x+1}}, M(0; 3)$

Перепишем функцию: $f(x) = -(x+1)^{-1/2}$.

Общий вид первообразной:

$F(x) = \int -(x+1)^{-1/2} dx = -\frac{(x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} + C = -2\sqrt{x+1} + C$.

Используем условие $F(0) = 3$ для нахождения $C$.

$-2\sqrt{0+1} + C = 3$

$-2 \cdot 1 + C = 3$

$-2 + C = 3 \implies C = 5$.

Искомая первообразная: $F(x) = -2\sqrt{x+1} + 5$.

Ответ: $F(x) = -2\sqrt{x+1} + 5$.