Номер 378, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 378, страница 199.

Условие.

378. Найдите работу против силы выталкивания при погружении шара в воду.

Решение 1.

Решение 5.

Для того чтобы найти работу, совершаемую против силы выталкивания при погружении шара в воду, необходимо учесть, что выталкивающая сила (сила Архимеда) не является постоянной. Она увеличивается по мере погружения тела в жидкость, так как растет объем погруженной части. Работа в случае переменной силы вычисляется с помощью интегрирования.

Сила Архимеда $F_b$ определяется по формуле: $F_b = \rho g V_{sub}$, где $\rho$ — плотность жидкости (в данном случае воды), $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{sub}$ — объем погруженной части тела.

Рассмотрим два способа решения задачи для шара радиусом $R$.

Метод 1: Прямое интегрирование

Введем вертикальную ось $h$, направленную вниз, с началом на поверхности воды. Процесс полного погружения шара соответствует изменению глубины его погруженной части от $h=0$ (касание поверхности) до $h=2R$ (полное погружение). Объем погруженной части шара, представляющей собой шаровой сегмент высотой $h$, равен:

$V_{sub}(h) = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$

Тогда сила выталкивания как функция от $h$ имеет вид:

$F_b(h) = \rho g V_{sub}(h) = \frac{\pi \rho g}{3} (3Rh^2 - h^3)$

Работа $A$, совершаемая против силы выталкивания, равна интегралу от этой силы по всему пути погружения от $h=0$ до $h=2R$:

$A = \int_{0}^{2R} F_b(h) \, dh = \int_{0}^{2R} \frac{\pi \rho g}{3} (3Rh^2 - h^3) \, dh$

Вычислим этот интеграл, вынеся постоянные множители:

$A = \frac{\pi \rho g}{3} \int_{0}^{2R} (3Rh^2 - h^3) \, dh = \frac{\pi \rho g}{3} \left[ 3R \frac{h^3}{3} - \frac{h^4}{4} \right]_{0}^{2R} = \frac{\pi \rho g}{3} \left[ Rh^3 - \frac{h^4}{4} \right]_{0}^{2R}$

Подставляя пределы интегрирования, получаем:

$A = \frac{\pi \rho g}{3} \left( \left( R(2R)^3 - \frac{(2R)^4}{4} \right) - 0 \right) = \frac{\pi \rho g}{3} \left( 8R^4 - \frac{16R^4}{4} \right) = \frac{\pi \rho g}{3} (8R^4 - 4R^4) = \frac{4\pi \rho g R^4}{3}$

Метод 2: Энергетический подход

Работу против силы выталкивания можно также определить через изменение потенциальной энергии системы. Совершаемая работа равна потенциальной энергии, которую имел бы объем воды, вытесненный телом.

Когда шар полностью погружен, он вытесняет объем воды, равный своему собственному объему $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Центр масс этого вытесненного объема воды (имеющего форму шара) находится на той же глубине, что и центр погруженного шара, то есть на глубине $h_{цм} = R$ от поверхности воды.

Работа равна произведению веса вытесненной воды на глубину ее центра масс:

$A = (\text{Вес вытесненной воды}) \times h_{цм} = (m_{воды} \cdot g) \times R$

Масса вытесненной воды равна $m_{воды} = \rho \cdot V_{шара} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.

Следовательно, работа равна:

$A = \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3 g \right) \cdot R = \frac{4}{3} \pi \rho g R^4$

Этот результат совпадает с полученным первым методом. Физически это означает, что работа равна произведению максимальной (конечной) силы выталкивания ($F_{b,max} = \rho g V_{шара}$) на глубину центра масс полностью погруженного шара ($R$).

Ответ:

Работа $A$, совершаемая против силы выталкивания при полном погружении шара радиусом $R$ в воду (или другую жидкость с плотностью $\rho$), вычисляется по формуле:

$A = \frac{4}{3} \pi \rho g R^4$