Номер 372, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 372, страница 198.
№372 (с. 198)
Условие. №372 (с. 198)
скриншот условия

372. а) Выведите формулу объема шарового сегмента высотой $H$, если радиус шара равен $R$.
б) Выведите формулу объема усеченного конуса высотой $H$ с радиусами оснований $R$ и $r$.
Решение 1. №372 (с. 198)

Решение 3. №372 (с. 198)

Решение 5. №372 (с. 198)
а) Для вывода формулы объема шарового сегмента воспользуемся методом интегрирования (методом дисков). Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox.
Расположим шар радиуса $R$ так, чтобы его центр совпадал с началом координат. Уравнение окружности в плоскости Oxy, вращением которой образуется шар, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда радиус поперечного сечения шара на расстоянии $x$ от центра равен $y$, где $y^2 = R^2 - x^2$.
Шаровой сегмент высотой $H$ отсекается плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Будем считать, что сегмент расположен так, что его основание находится на расстоянии $x = R - H$ от центра, а вершина — в точке $x = R$.
Объем тела вращения вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения $S(x) = \pi y^2$ по оси Ox:
$$ V = \int_{a}^{b} \pi y(x)^2 dx $$
В нашем случае пределы интегрирования от $a = R-H$ до $b = R$. Подставляем выражение для $y^2$:
$$ V = \int_{R-H}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx = \pi \int_{R-H}^{R} (R^2 - x^2) dx $$
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$$ \int (R^2 - x^2) dx = R^2x - \frac{x^3}{3} $$
Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$$ V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{R-H}^{R} = \pi \left( (R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3}) - (R^2(R-H) - \frac{(R-H)^3}{3}) \right) $$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$$ V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left( R^3 - R^2H - \frac{R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3}{3} \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2H + \frac{R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3}{3} \right) $$
Приведем все слагаемые в скобках к общему знаменателю 3:
$$ V = \frac{\pi}{3} \left( 2R^3 - 3R^3 + 3R^2H + R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3 \right) $$
Сократим подобные члены:
$$ V = \frac{\pi}{3} \left( (2R^3 - 3R^3 + R^3) + (3R^2H - 3R^2H) + 3RH^2 - H^3 \right) = \frac{\pi}{3} (3RH^2 - H^3) $$
Вынесем $H^2$ за скобки, чтобы получить окончательную формулу:
$$ V = \pi H^2 (R - \frac{H}{3}) $$
Ответ: $V = \pi H^2 \left(R - \frac{H}{3}\right)$.
б) Формулу объема усеченного конуса также выведем с помощью интегрирования. Усеченный конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
Расположим усеченный конус так, чтобы его ось симметрии совпала с осью Ox. Высота конуса $H$ отложена по оси Ox от $x=0$ до $x=H$. Радиус нижнего (большего) основания равен $R$ (при $x=0$), а радиус верхнего (меньшего) основания равен $r$ (при $x=H$).
Радиус $y(x)$ поперечного сечения конуса на расстоянии $x$ от основания является линейной функцией от $x$. Образующая боковой поверхности является отрезком прямой, проходящей через точки $(0, R)$ и $(H, r)$. Уравнение этой прямой имеет вид:
$$ y(x) = R + \frac{r-R}{H}x $$
Объем тела вращения равен интегралу от площади поперечного сечения $S(x) = \pi y(x)^2$:
$$ V = \int_{0}^{H} \pi y(x)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \left( R + \frac{r-R}{H}x \right)^2 dx $$
Раскроем квадрат под знаком интеграла:
$$ \left( R + \frac{r-R}{H}x \right)^2 = R^2 + 2R\frac{r-R}{H}x + \left(\frac{r-R}{H}\right)^2 x^2 $$
Теперь проинтегрируем это выражение по $x$ в пределах от 0 до $H$:
$$ V = \pi \int_{0}^{H} \left( R^2 + \frac{2R(r-R)}{H}x + \frac{(r-R)^2}{H^2}x^2 \right) dx $$
$$ V = \pi \left[ R^2x + \frac{2R(r-R)}{H}\frac{x^2}{2} + \frac{(r-R)^2}{H^2}\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} $$
Подставим пределы интегрирования. Нижний предел (0) дает ноль, поэтому достаточно подставить только верхний предел ($H$):
$$ V = \pi \left( R^2H + \frac{R(r-R)}{H}H^2 + \frac{(r-R)^2}{H^2}\frac{H^3}{3} \right) $$
$$ V = \pi \left( R^2H + R(r-R)H + \frac{(r-R)^2}{3}H \right) $$
Вынесем общий множитель $\frac{\pi H}{3}$ за скобки:
$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( 3R^2 + 3R(r-R) + (r-R)^2 \right) $$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( 3R^2 + 3Rr - 3R^2 + r^2 - 2Rr + R^2 \right) $$
$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( R^2 + Rr + r^2 \right) $$
Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 372 расположенного на странице 198 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №372 (с. 198), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.