Номер 372, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 372, страница 198.

Условие.

372. а) Выведите формулу объема шарового сегмента высотой $H$, если радиус шара равен $R$.

б) Выведите формулу объема усеченного конуса высотой $H$ с радиусами оснований $R$ и $r$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вывода формулы объема шарового сегмента воспользуемся методом интегрирования (методом дисков). Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox.

Расположим шар радиуса $R$ так, чтобы его центр совпадал с началом координат. Уравнение окружности в плоскости Oxy, вращением которой образуется шар, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда радиус поперечного сечения шара на расстоянии $x$ от центра равен $y$, где $y^2 = R^2 - x^2$.

Шаровой сегмент высотой $H$ отсекается плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Будем считать, что сегмент расположен так, что его основание находится на расстоянии $x = R - H$ от центра, а вершина — в точке $x = R$.

Объем тела вращения вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения $S(x) = \pi y^2$ по оси Ox:

$$ V = \int_{a}^{b} \pi y(x)^2 dx $$

В нашем случае пределы интегрирования от $a = R-H$ до $b = R$. Подставляем выражение для $y^2$:

$$ V = \int_{R-H}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx = \pi \int_{R-H}^{R} (R^2 - x^2) dx $$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$$ \int (R^2 - x^2) dx = R^2x - \frac{x^3}{3} $$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$$ V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{R-H}^{R} = \pi \left( (R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3}) - (R^2(R-H) - \frac{(R-H)^3}{3}) \right) $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left( R^3 - R^2H - \frac{R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3}{3} \right) \right) $$

$$ V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2H + \frac{R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3}{3} \right) $$

Приведем все слагаемые в скобках к общему знаменателю 3:

$$ V = \frac{\pi}{3} \left( 2R^3 - 3R^3 + 3R^2H + R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3 \right) $$

Сократим подобные члены:

$$ V = \frac{\pi}{3} \left( (2R^3 - 3R^3 + R^3) + (3R^2H - 3R^2H) + 3RH^2 - H^3 \right) = \frac{\pi}{3} (3RH^2 - H^3) $$

Вынесем $H^2$ за скобки, чтобы получить окончательную формулу:

$$ V = \pi H^2 (R - \frac{H}{3}) $$

Ответ: $V = \pi H^2 \left(R - \frac{H}{3}\right)$.

б) Формулу объема усеченного конуса также выведем с помощью интегрирования. Усеченный конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Расположим усеченный конус так, чтобы его ось симметрии совпала с осью Ox. Высота конуса $H$ отложена по оси Ox от $x=0$ до $x=H$. Радиус нижнего (большего) основания равен $R$ (при $x=0$), а радиус верхнего (меньшего) основания равен $r$ (при $x=H$).

Радиус $y(x)$ поперечного сечения конуса на расстоянии $x$ от основания является линейной функцией от $x$. Образующая боковой поверхности является отрезком прямой, проходящей через точки $(0, R)$ и $(H, r)$. Уравнение этой прямой имеет вид:

$$ y(x) = R + \frac{r-R}{H}x $$

Объем тела вращения равен интегралу от площади поперечного сечения $S(x) = \pi y(x)^2$:

$$ V = \int_{0}^{H} \pi y(x)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \left( R + \frac{r-R}{H}x \right)^2 dx $$

Раскроем квадрат под знаком интеграла:

$$ \left( R + \frac{r-R}{H}x \right)^2 = R^2 + 2R\frac{r-R}{H}x + \left(\frac{r-R}{H}\right)^2 x^2 $$

Теперь проинтегрируем это выражение по $x$ в пределах от 0 до $H$:

$$ V = \pi \int_{0}^{H} \left( R^2 + \frac{2R(r-R)}{H}x + \frac{(r-R)^2}{H^2}x^2 \right) dx $$

$$ V = \pi \left[ R^2x + \frac{2R(r-R)}{H}\frac{x^2}{2} + \frac{(r-R)^2}{H^2}\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} $$

Подставим пределы интегрирования. Нижний предел (0) дает ноль, поэтому достаточно подставить только верхний предел ($H$):

$$ V = \pi \left( R^2H + \frac{R(r-R)}{H}H^2 + \frac{(r-R)^2}{H^2}\frac{H^3}{3} \right) $$

$$ V = \pi \left( R^2H + R(r-R)H + \frac{(r-R)^2}{3}H \right) $$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi H}{3}$ за скобки:

$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( 3R^2 + 3R(r-R) + (r-R)^2 \right) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( 3R^2 + 3Rr - 3R^2 + r^2 - 2Rr + R^2 \right) $$

$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( R^2 + Rr + r^2 \right) $$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$.